Question

Докажите что 7^8-7^7+7^6 делится на 43

Answer 1

7^8-7^7+7^6+7^6(7^2-7+1)=7^6(49-7+1)=7^6•43,значит кратно 43

Answer 2

Давайте докажем, что \(7^8 - 7^7 + 7^6\) делится на 43.

Мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если \(p\) — простое число, а \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). То есть, \(a^{p-1}\) даёт остаток 1 при делении на \(p\).

В данном случае \(p = 43\), и 43 — простое число. Поэтому малая теорема Ферма говорит нам, что:

\[7^{42} \equiv 1 \pmod{43}\]

Теперь мы можем воспользоваться этим результатом, чтобы упростить выражение \(7^8 - 7^7 + 7^6\):

\[ \begin{align*} 7^8 - 7^7 + 7^6 &\equiv (7^8 \cdot 7^{42}) - (7^7 \cdot 7^{42}) + (7^6 \cdot 7^{42}) \pmod{43} \\ &\equiv 7^{50} - 7^{49} + 7^{48} \pmod{43} \\ &\equiv 7^{42} \cdot 7^8 - 7^{42} \cdot 7^7 + 7^{42} \cdot 7^6 \pmod{43} \\ &\equiv 7^8 - 7^7 + 7^6 \pmod{43} \end{align*} \]

Таким образом, мы видим, что \(7^8 - 7^7 + 7^6\) эквивалентно тому же выражению, но без множителя \(7^{42}\), который согласно малой теореме Ферма равен 1. Таким образом, \(7^8 - 7^7 + 7^6\) действительно делится на 43.