Question

Решите уравнение с пояснениями, пожалуйста -5sin2x-16(sinx-cosx)+8=0

Answer 1

 Решите уравнение с пояснениями, пожалуйста -5sin2x-16(sinx-cosx)+8=0
 ===========================
- 5( 1 -(sinx  - cosx)² ) - 16(sinx-cosx)+8=0 ;
*sinx - cosx)² = sin²x -2sinx*cosx +cos²x =1 -sin2x⇒ sin2x =1 -(sinx  - cosx)²  * 
5*(sinx  - cosx)²  -  16*(sinx - cosx)+ 3=0  ; * * *замена : t  =(sinx-cosx) * * *
можно и так [ это квадратное уравнение относительно (sinx - cosx) ] 
sinx  - cosx = (8 ±7)/5   || D/4 =(18/2)² -5*3 =64 -15 =49 =7² ||
[ sinx  - cosx = (8 +7)/5  =3 ; sinx  - cosx = (8 -7)/5  =1 / 5  =0,2.
а) sinx  - cosx =3   не имеет решения 
б) sinx  - cosx =0,2 ;
√2 *sin(x -π/4) =0,2 ;
sin(x -π/4) =0,1√2 ;
x -π/4 =(-1)^n * arcsin(0,1√2) +πn , n ∈ Z.x = π/4 + (-1)^n *arcsin(0,1√2) + πn , n ∈ Z.

ответ  :  π/4 +(-1)^n *arcsin(0,1√2) +πn , n ∈ Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся методом подстановки и преобразования выражений. Я разделю ответ на несколько шагов для более ясного объяснения.

Шаг 1: Замена переменных Пусть u = sin(x) и v = cos(x). Тогда мы можем выразить sin(x) и cos(x) через u и v следующим образом: sin(x) = u cos(x) = v

Шаг 2: Подстановка Теперь мы подставим выражения для sin(x) и cos(x) в исходное уравнение: -5sin(2x) - 16(sin(x) - cos(x)) + 8 = 0 -5(2sin(x)cos(x)) - 16(sin(x) - cos(x)) + 8 = 0 -10uv - 16(u - v) + 8 = 0

Шаг 3: Упрощение Раскроем скобки и упростим уравнение: -10uv - 16u + 16v + 8 = 0 -10uv + 16v - 16u + 8 = 0

Шаг 4: Факторизация Факторизуем полученное уравнение, выделив общие множители: 2(-5uv + 8v - 8u + 4) = 0

Шаг 5: Решение для u и v Теперь решим уравнение для переменных u и v: -5uv + 8v - 8u + 4 = 0

Мы можем применить метод группировки и факторизации: v(-5u + 8) - 4(2u - 1) = 0

Теперь у нас есть два уравнения: 1) v = 0 2) -5u + 8 = 0

Решим первое уравнение: v = 0

Из уравнения sin(x) = u и cos(x) = v следует, что если v = 0, то cos(x) = 0. Это значит, что x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Решим второе уравнение: -5u + 8 = 0 -5u = -8 u = 8/5

Теперь мы можем найти sin(x) и cos(x): sin(x) = u sin(x) = 8/5

cos(x) = v cos(x) = 0

Из уравнения sin(x) = 8/5 следует, что x = arcsin(8/5) + 2kπ или x = π - arcsin(8/5) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения -5sin(2x) - 16(sin(x) - cos(x)) + 8 = 0 имеет две части: 1) x = π/2 + kπ, где k - целое число. 2) x = arcsin(8/5) + 2kπ или x = π - arcsin(8/5) + 2kπ, где k - целое число.

Пожалуйста, обратите внимание, что вторая часть решения основана на приближенных значениях и может быть округлена при необходимости.