Question

(x^2-4x)^2 <=16

Answer 1

x^2-4x<=4

x^2-4x-4<=0

x=2+-sqrt(8)=2(1+-sqrt(2))

[2-2sqrt(2);2+2sqrt(2)]

x^2-4x<=-4

x^2-4x+4<=0

(x-2)^2<=0

х=2

[2-2sqrt(2);2+2sqrt(2)]

Answer 2

(х² - 4х)² ≤ 16

(х² - 4х)² - 16 ≤ 0

разложим разность квадратов в левой части на множители

[(х² - 4х) - 4]·[(х² - 4х) + 4] ≤ 0

(х² - 4х - 4)·(х² - 4х + 4) ≤ 0

(х² - 4х - 4)·(х - 2)² ≤ 0

Множитель (х - 2)² всегда неотрицателен, тогда  неравенство справедливо, если

х² - 4х - 4 ≤ 0

найдём нули функции у = х² - 4х - 4

х² - 4х - 4 = 0

D = 16 + 16 = 32

√D = 4√2

х₁ = 0,5(4 - 4√2) = 2 - 2√2

х₂ = 0,5(4 + 4√2) = 2 + 2√2

График функции у = х² - 4х - 4 квадратная парабола веточками вверх, поэтому у<0 между корнями уравнения х₁ и х₂

Неравенство имеет решение х ∈ [2 - 2√2 ; 2 + 2√2]

Answer 3

Давайте решим неравенство \((x^2 - 4x)^2 \leq 16\).

1. Раскроем квадрат внутри скобок: \[(x^2 - 4x)^2 = x^4 - 8x^3 + 16x^2.\]

2. Теперь у нас есть неравенство \(x^4 - 8x^3 + 16x^2 \leq 16\).

3. Переносим все члены влево, чтобы получить стандартную форму квадратного уравнения: \[x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 16 \leq 0.\]

4. Факторизуем левую часть: \[(x^2 - 4x - 4)(x^2 - 4x + 4) \leq 0.\]

5. Теперь решим неравенство, рассматривая знак выражения в каждом из интервалов, образованных корнями уравнения вида \(x^2 - 4x - 4 = 0\) и \(x^2 - 4x + 4 = 0\).

Для \(x^2 - 4x - 4 = 0\) используем квадратное уравнение: \[x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}.\]

Корни \(x^2 - 4x - 4 = 0\) это \(2 + 2\sqrt{2}\) и \(2 - 2\sqrt{2}\).

Для \(x^2 - 4x + 4 = 0\) корень это \(2\).

6. Теперь выберем точки из каждого интервала, чтобы определить знак выражения внутри скобок:

- Интервал \((-\infty, 2 - 2\sqrt{2})\): возьмем \(x = 0\), тогда \((0 - 4)^2 - 16 < 0\). - Интервал \((2 - 2\sqrt{2}, 2)\): возьмем \(x = 2 - \sqrt{2}\), тогда \((2 - \sqrt{2} - 4)^2 - 16 > 0\). - Интервал \((2, 2 + 2\sqrt{2})\): возьмем \(x = 2 + \sqrt{2}\), тогда \((2 + \sqrt{2} - 4)^2 - 16 < 0\). - Интервал \((2 + 2\sqrt{2}, +\infty)\): возьмем \(x = 3\), тогда \((3 - 4)^2 - 16 > 0\).

7. Теперь соберем информацию и определим, в каких интервалах неравенство выполняется: - \((-\infty, 2 - 2\sqrt{2})\) и \((2 + 2\sqrt{2}, +\infty)\): неравенство выполняется. - \((2 - 2\sqrt{2}, 2)\): неравенство не выполняется.

Таким образом, решение данного неравенства: \[x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty).\]