Question

Помогите решить! 2х+у-z=0 3y+4z+6=0 x+z=1

Answer 1

X=1-z
2(1-z)+y-z=0
2-3z+y=0
y=3z+2
3(3z+2)+4z+6=0
13z+12=0
z=-12/13

Answer 2

Конечно, давайте решим систему уравнений:

1. \(2x + y - z = 0\) 2. \(3y + 4z + 6 = 0\) 3. \(x + z = 1\)

Для удобства, давайте представим систему в матричной форме:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Это представление системы в матричной форме имеет вид \(Ax = B\), где \(A\) - матрица коэффициентов, \(x\) - вектор переменных, \(B\) - вектор свободных членов.

Теперь мы можем воспользоваться методами решения систем линейных уравнений, например, методом обратной матрицы.

1. Вычислим определитель матрицы коэффициентов \(A\). Если определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение.

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) - 1(0 - 4 \cdot 1) = 2 \neq 0 \]

Определитель не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение.

2. Найдем обратную матрицу \(A^{-1}\):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

где \(\text{adj}(A)\) - это матрица алгебраических дополнений, транспонированная матрица союзных алгебраических дополнений.

\[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & -8 \end{bmatrix} \]

\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} & -1 & -4 \end{bmatrix} \]

3. Умножим обратную матрицу \(A^{-1}\) на вектор свободных членов \(B\):

\[ x = A^{-1}B \]

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} & -1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Рассчитаем результат:

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot (-6) + 2 \cdot 1 \\ -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 \cdot (-6) + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 \\ -\frac{3}{2} \cdot 0 + (-1) \cdot (-6) + (-4) \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -5.5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

Таким образом, решение системы уравнений:

\[ \begin{cases} x = -5 \\ y = -5.5 \\ z = 7 \end{cases} \]