Question

Найти значение производной функции f(x)=√(2x+1) в точке x_0=7,5.

Answer 1

F ' (x) = 2/(2*√(2x+1) )=1/√(2x+1) 

f ' (7,5) = 1/√16 = 1/4 = 0,25 

Answer 2

Для нахождения значения производной функции \( f(x) = \sqrt{2x + 1} \) в точке \( x_0 = 7.5 \), мы можем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила). Давайте выполним этот процесс пошагово.

1. Начнем с самой функции: \[ f(x) = \sqrt{2x + 1} \]

2. Обозначим \( u = 2x + 1 \), тогда функцию можно переписать в виде: \[ f(x) = \sqrt{u} \]

3. Теперь найдем производную \( f'(u) \) по переменной \( u \): \[ f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]

4. Теперь применим цепное правило: умножим производную \( f'(u) \) на производную внутренней функции \( u(x) = 2x + 1 \) по переменной \( x \): \[ \frac{df}{dx} = f'(u) \cdot u'(x) \]

Где \[ u'(x) = \frac{du}{dx} = 2 \]

5. Теперь подставим значения и решим: \[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2 \] \[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{\sqrt{u}} \]

Теперь вернемся к выражению \( u = 2x + 1 \): \[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \]

6. Теперь вычислим значение производной в точке \( x_0 = 7.5 \): \[ \frac{df}{dx} \bigg|_{x=7.5} = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 7.5 + 1}} \]

Раскрываем скобки: \[ \frac{df}{dx} \bigg|_{x=7.5} = \frac{1}{\sqrt{15 + 1}} \]

Сокращаем подкоренное выражение: \[ \frac{df}{dx} \bigg|_{x=7.5} = \frac{1}{\sqrt{16}} \]

Получаем: \[ \frac{df}{dx} \bigg|_{x=7.5} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = \sqrt{2x + 1} \) в точке \( x_0 = 7.5 \) равно \( \frac{1}{4} \).