Question

Упростить выражения:а)sin3x(1+ctgx)+cos3x(1+tgx);б)(sina+ctga/1+sina*tga)2-ctg2a. Решите. Оооооочень срочно

Answer 1

A)sin^3 x (1+ctg x) + cos^3 x (1+tg x)= sin^3x + sin^2x * cosx + cos^3x + sinx * cos^2x = (sin^2x + cos^2x) * (sinx + cosx) = sinx + cosx

Answer 2

Конечно, давай разберёмся с этими выражениями.

а) Начнем с упрощения выражения \( \sin{3x}(1+\cot{x}) + \cos{3x}(1+\tan{x}) \):

1. Воспользуемся тригонометрическими формулами: - \( \cot{x} = \frac{1}{\tan{x}} \) - \( \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \) 2. Раскроем скобки, используя эти формулы:

\[ \sin{3x} + \frac{\sin{3x}}{\cos{x}}\cos{3x} + \cos{3x} + \frac{\cos{3x}}{\sin{x}}\sin{3x} \]

3. Приведём подобные слагаемые:

\[ \sin{3x} + \cos{3x} + \sin{3x} + \cos{3x} = 2\sin{3x} + 2\cos{3x} \]

Теперь это упрощённое выражение: \( 2\sin{3x} + 2\cos{3x} \).

б) Теперь для \( \left(\frac{\sin{a}+\cot{a}}{1+\sin{a}\tan{a}}\right)^2 - \cot^2{a} \):

1. Начнем с замены \( \cot{a} = \frac{1}{\tan{a}} \) и \( \tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}} \).

2. Подставим в выражение:

\[ \left(\frac{\sin{a}+\frac{1}{\tan{a}}}{1+\sin{a}\tan{a}}\right)^2 - \frac{1}{\tan^2{a}} \]

3. Раскроем скобки:

\[ \left(\frac{\sin{a}+\frac{\cos{a}}{\sin{a}}}{1+\sin{a}\frac{\sin{a}}{\cos{a}}}\right)^2 - \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} \]

4. Приведем к общему знаменателю:

\[ \left(\frac{\sin^2{a}+\cos{a}}{\sin{a}+\sin^2{a}}\right)^2 - \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} \]

5. Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \( \sin^2{a} + \cos{a} = 1 + \cos{a} \) (пользуемся тригонометрической формулой \( \sin^2{a} + \cos^2{a} = 1 \)).

Знаменатель: \( \sin{a} + \sin^2{a} = \sin{a} (1+\sin{a}) \).

Теперь выражение будет:

\[ \left(\frac{1+\cos{a}}{\sin{a}(1+\sin{a})}\right)^2 - \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} \]

6. Возводим в квадрат:

\[ \frac{(1+\cos{a})^2}{\sin^2{a}(1+\sin{a})^2} - \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} \]

7. Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{(1+\cos{a})^2 - \cos^2{a}(1+\sin{a})^2}{\sin^2{a}(1+\sin{a})^2} \]

8. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ \frac{1+2\cos{a}+\cos^2{a} - \cos^2{a}-\sin^2{a}\cos^2{a}-2\sin{a}\cos^2{a}-\cos^2{a}}{\sin^2{a}(1+\sin{a})^2} \]

9. Упрощаем числитель:

\[ \frac{1+2\cos{a}-\sin^2{a}\cos^2{a}-2\sin{a}\cos^2{a}}{\sin^2{a}(1+\sin{a})^2} \]

Это окончательное упрощенное выражение. Если нужно, могу помочь с дальнейшими шагами решения задачи.