Question

1.Представьте в виде произведения многочленов: а) а^{3} + 8; б) 8n^{3} - 27; в) p^{3} - 64p^{3}. 2. Представьте в виде многочлена стандартного вида: (а + 4b)^{3} + (a - 4b)^{3}

Answer 1

А) а^{3} + 8 = a³ + 2³ = (a + 2)(a² - 2a + 4)

б) 8n^{3} - 27 = (2n)³ - 3³ = (2n - 3)(4n² + 6n + 9)

в) p^{3} - 64p^{3} = -  63p³ 
или, можно и по формулам
  p^{3} - 64p^{3} = p³ - (4p)³ = (p - 4p)(p² + 4p² + 16p²) = - 3p(21p²) = -  63p³ 


2. Представьте в виде многочлена стандартного вида:

(а + 4b)³ + (a - 4b)³ = (a + 4b + a - 4b)](a + 4b)² - (a + 4b)(a - 4b) + (a - 4b)²] = 
= 2a[a² + 8ab + 16b² - a² + 16b² + a² - 8ab + 16b²] =
= 2a(a² + 48b²)

Answer 2

1. Представление в виде произведения многочленов: а) a^{3} + 8 Данный многочлен является суммой куба переменной a и восьми. Он не может быть представлен в виде произведения многочленов более низкой степени.

б) 8n^{3} - 27 Данный многочлен является разностью куба переменной n, умноженного на 8, и 27. Можно заметить, что 8n^{3} - 27 представляет собой разность кубов двух выражений: (2n)^{3} - 3^{3}. Используя формулу разности кубов a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}), мы можем представить данный многочлен в виде произведения многочленов: 8n^{3} - 27 = (2n - 3)((2n)^{2} + (2n)(3) + 3^{2}) = (2n - 3)(4n^{2} + 6n + 9)

в) p^{3} - 64p^{3} Данный многочлен является разностью куба переменной p и 64, умноженного на куб переменной p. Можно заметить, что p^{3} - 64p^{3} представляет собой разность кубов двух выражений: (p - 4p)^{3} - (4p)^{3}. Используя формулу разности кубов a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}), мы можем представить данный многочлен в виде произведения многочленов: p^{3} - 64p^{3} = (p - 4p)((p - 4p)^{2} + (p - 4p)(4p) + (4p)^{2}) = -3p(-3p^{2} + 12p^{2} + 16p^{2}) = -3p(25p^{2}) = -75p^{3}

2. Представление в виде многочлена стандартного вида: (а + 4b)^{3} + (a - 4b)^{3} Данный многочлен является суммой кубов двух выражений: (а + 4b)^{3} и (a - 4b)^{3}. Мы можем использовать формулу суммы кубов a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) для представления данного многочлена в виде произведения многочленов: (а + 4b)^{3} + (a - 4b)^{3} = (а + 4b + a - 4b)((а + 4b)^{2} - (а + 4b)(a - 4b) + (a - 4b)^{2}) = 2a((a + 4b)^{2} + (a - 4b)^{2})