Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x)=2x^4+8/3x^3 Найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x)=3/2x^4-6x+3 f(x)=1/6x^3-1/2x^2+2

Answer 1

На фото первое  сейчас второе посмотрю

Answer 2

Давайте начнем с исследования первой функции \( f(x) = 2x^4 + \frac{8}{3}x^3 \) с использованием производной. Затем мы перейдем ко второй функции \( f(x) = \frac{3}{2}x^4 - 6x + 3 \) и третьей функции \( f(x) = \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2 \).

1. \( f(x) = 2x^4 + \frac{8}{3}x^3 \)

Найдем производную:

\[ f'(x) = 8x^3 + 8x^2 \]

Найдем точки экстремума:

\[ f'(x) = 0 \] \[ 8x^3 + 8x^2 = 0 \] \[ 8x^2(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).

Исследование интервалов:

1. Интервал (-бесконечность, -1): - \( f'(-2) = (-) \) (отрицательный) - функция убывает.

2. Интервал (-1, 0): - \( f'(-0.5) = (-) \) (отрицательный) - функция убывает.

3. Интервал (0, +бесконечность): - \( f'(1) = (+) \) (положительный) - функция возрастает.

График функции:


2. \( f(x) = \frac{3}{2}x^4 - 6x + 3 \)

Найдем производную:

\[ f'(x) = 6x^3 - 6 \]

Найдем точки экстремума:

\[ f'(x) = 0 \] \[ 6x^3 - 6 = 0 \] \[ x^3 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем три критические точки: \( x = 1 \) и две комплексные точки.

Исследование интервалов:

1. Интервал (-бесконечность, 1): - \( f'(-1) = (-) \) (отрицательный) - функция убывает.

2. Интервал (1, +бесконечность): - \( f'(2) = (+) \) (положительный) - функция возрастает.

График функции:


3. \( f(x) = \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2 \)

Найдем производную:

\[ f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x \]

Найдем точки экстремума:

\[ f'(x) = 0 \] \[ \frac{1}{2}x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Исследование интервалов:

1. Интервал (-бесконечность, 0): - \( f'(-1) = (+) \) (положительный) - функция возрастает.

2. Интервал (0, 2): - \( f'(1) = (-) \) (отрицательный) - функция убывает.

3. Интервал (2, +бесконечность): - \( f'(3) = (+) \) (положительный) - функция возрастает.

График функции:


Таким образом, мы исследовали три функции, построили их графики и определили промежутки возрастания и убывания на основе анализа производных.