Question

Учителю и ученикам задают вопрос. Вероятность того, что ответ учителя будет правильным, равняется α, а вероятность правильного ответа ученика равняется β (для мальчиков) и γ (для девочек). Вероятность того, что ответ случайно избранного ученика совпадает с ответом учителя, равняется 1/2 . Найти отношение числа мальчиков к числу девочек.

Answer 1

Будем считать, что они отвечают на тест с двумя вариантами ответа. (Иначе возникнет вопрос - сколько есть правильных и неправильных ответов, от этого будет зависеть ответ). Также считаем, что отвечают ученики независимо от учителя.

Пусть мальчиков M и девочек D. Тогда вероятность правильного ответа у случайно выбранного ученика равна p = M / (M + D) * beta + D / (M + D) * gamma.

Теперь будем решать такую задачу: учитель отвечает верно с вероятностью alpha, ученик отвечает верно с вероятностью p. Найти вероятность того, что они ответят одинаково. При каком p эта вероятность = 1/2?

Конечно, P(одинаково) = P(уч-к ошибся|уч-ль ошибся) + P(уч-к верно|уч-ль верно) = alpha p + (1 - alpha)(1 - p) = alpha p + 1 - alpha - p + alpha p = p(2alpha - 1) + (1 - alpha) = 1/2
p(2alpha - 1) = alpha - 1/2
p = 1/2 (*) или alpha = 1/2 (**)

(*)
M / (M + D) * beta + D / (M + D) * gamma = 1/2
M beta + D gamma = 1/2 (M + D)
M/D beta + gamma = 1/2 M/D + 1/2
M/D (beta - 1/2) = 1/2 - gamma
Если beta не равна 1/2, ответ
M/D = (1 - 2gamma)/(2beta - 1)
Если beta = gamma = 1/2, то M/D - любое.
Если beta = 1/2 и gamma != 12, то M/D = infty, т.е. D = 0 и M != 0.

(**) Если alpha = 1/2, то p может принимать любые значения, тогда ничего узнать не удастся.

Ответ. Если alpha = 1/2 или beta = gamma = 1/2, то отношение может быть любым, иначе оно равно (1 - 2gamma))/(2beta - 1)

Answer 2

Определение переменных:

* α - вероятность правильного ответа учителя * β - вероятность правильного ответа ученика (для мальчиков) * γ - вероятность правильного ответа ученика (для девочек) * P - вероятность того, что ответ случайно выбранного ученика совпадает с ответом учителя

Решение:

Мы знаем, что вероятность того, что ответ случайно выбранного ученика совпадает с ответом учителя, равна 1/2. Это означает, что половина учеников отвечает правильно, а другая половина отвечает неправильно.

Мальчики составляют долю от общего числа учеников, а девочки составляют оставшуюся долю. Пусть m обозначает число мальчиков, а d - число девочек.

Тогда вероятность правильного ответа мальчика будет β, а вероятность правильного ответа девочки - γ.

Таким образом, доля мальчиков, которые отвечают правильно, будет m * β, а доля девочек, которые отвечают правильно, будет d * γ.

Поскольку половина учеников отвечает правильно, мы можем записать следующее уравнение:

m * β + d * γ = 1/2

Также, поскольку доля мальчиков и девочек составляет всю группу учеников, мы можем записать следующее уравнение:

m + d = 1

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (m и d), поэтому мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти отношение числа мальчиков к числу девочек.

Решение системы уравнений:

1. Из уравнения m + d = 1 можно выразить m через d: m = 1 - d.

2. Подставим это выражение для m в первое уравнение:

(1 - d) * β + d * γ = 1/2

3. Распишем скобки и приведем подобные члены:

β - d * β + d * γ = 1/2

4. Перенесем все члены, содержащие d, влево:

d * γ - d * β = 1/2 - β

5. Факторизуем левую часть выражения:

d * (γ - β) = 1/2 - β

6. Разделим обе части уравнения на (γ - β):

d = (1/2 - β) / (γ - β)

7. Подставим выражение для m в уравнение m + d = 1:

(1 - d) + d = 1

1 - d + d = 1

1 = 1

Ответ:

Отношение числа мальчиков к числу девочек равно 1:1.