Question

Найдите наименьшее значение функции y=18x-4x√x на отрезке [4;16]

Answer 1

Y`=(18x-4x√x)`=(18x-4√x³)`=(18x-4x³/²)`=18-4*(3/2)*x¹/²=18-6√x=0
6√x=18  |÷6
√x=3
(√x)²=3²
x=9
y(9)=18*9-4*9*√9=162-36*3=162-108=54.
y(4)=18*4-4*4√4=72-4*4*2=72-32=40.
y(16)=18*16-4*16√16=288-4*16*4=288-256=32=ymin
Ответ: ymin=32.   (16;32).

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 18x - 4x√x на отрезке [4;16] нужно найти точку, в которой функция достигает своего минимального значения.

Для начала найдем производную функции y по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции: y' = 18 - 8√x - 2x/√x = 0

Упростим это уравнение: 18 - 8√x - 2√x = 0 18 - 10√x = 0 10√x = 18 √x = 18/10 √x = 9/5 x = (9/5)^2 x = 81/25

Таким образом, критическая точка функции находится при x = 81/25.

Теперь проверим значения функции в крайних точках отрезка [4;16] и найденной критической точке: y(4) = 18*4 - 4*4√4 = 72 - 32 = 40 y(16) = 18*16 - 4*16√16 = 288 - 256 = 32 y(81/25) = 18*(81/25) - 4*(81/25)√(81/25) = 1458/25 - 324/25 = 1134/25

Таким образом, наименьшее значение функции y = 18x - 4x√x на отрезке [4;16] равно 1134/25.