Question

Срочно,помогите,очень нужно 1)log2(х-2)+log2x=3 2)log8x+log√2x=14 3)9^x-7*3^x-18=0 4)log3 1/27 5)log√3x+log 3x=10 6)4x+2x-20=0

Answer 1

log2(х-2)+log2x=3 здесь x=3,97

log8x+log√2x=14 здесь x=e^28/3/4sqt3sqr2

9^x-7*3^x-18=0 здесь x=2

log3 1/27 здесь log(1)/27log(3)


log√3x+log 3x=10 здесь x=e^20/3/3

4x+2x-20=0 здесь x=10/3

Answer 2

Давайте по порядку решим каждое уравнение:

1) \( \log_2(x-2) + \log_2(x) = 3 \)

Используем свойство логарифмов \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \):

\[ \log_2((x-2) \cdot x) = 3 \]

Теперь избавимся от логарифма, используя определение логарифма:

\[ 2^3 = (x-2) \cdot x \]

\[ 8 = x^2 - 2x \]

Получили квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для x: \( x = 4 \) или \( x = -2 \). Однако, \( x \) не может быть равен -2, так как в исходном логарифме есть \( \log_2(x-2) \), и \( x-2 \) не может быть отрицательным. Таким образом, решение данного уравнения - \( x = 4 \).

2) \( \log_8(x) + \log_{\sqrt{2}}(x) = 14 \)

Преобразуем логарифмы, используя свойство \( \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \):

\[ \frac{\log_2(x)}{\log_2(8)} + \frac{\log_2(x)}{\log_2(\sqrt{2})} = 14 \]

Упростим дроби, используя тот факт, что \( \log_2(8) = 3 \) и \( \log_2(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \):

\[ \frac{\log_2(x)}{3} + \frac{2\log_2(x)}{1} = 14 \]

\[ \frac{\log_2(x)}{3} + 2\log_2(x) = 14 \]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ \log_2(x) + 6\log_2(x) = 42 \]

\[ 7\log_2(x) = 42 \]

\[ \log_2(x) = 6 \]

Теперь избавимся от логарифма:

\[ 2^6 = x \]

\[ x = 64 \]

3) \( 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \)

Давайте представим \( 9 \) и \( 3 \) в виде степеней:

\[ (3^2)^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \]

\[ 3^{2x} - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \]

Теперь введем замену, например, \( t = 3^x \):

\[ t^2 - 7t - 18 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ (t - 9)(t + 2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( t \): \( t = 9 \) или \( t = -2 \). Теперь подставим обратно \( 3^x \) вместо \( t \):

1) \( 3^x = 9 \) ⟹ \( x = 2 \)

2) \( 3^x = -2 \) ⟹ нет решений, так как \( 3^x \) всегда положительно.

Таким образом, у уравнения есть одно решение: \( x = 2 \).

4) \( \log_3\left(\frac{1}{27}\right) \)

Используем свойство \( \log_a\left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a(b) \):

\[ -\log_3(27) \]

Так как \( 3^3 = 27 \), то:

\[ -\log_3(3^3) \]

\[ -3 \]

5) \( \log_{\sqrt{3}}(x) + \log_3(x) = 10 \)

Преобразуем логарифмы, используя свойство \( \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \):

\[ \frac{\log_3(x)}{\log_3(\sqrt{3})} + \frac{\log_3(x)}{\log_3(3)} = 10 \]

Упростим дроби, используя тот факт, что \( \log_3(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \):

\[ 2\log_3(x) + \log_3(x) = 10 \]

\[ 3\log_3(x) = 10 \]

Теперь избавимся от логарифма:

\[ 3^{\frac{10}{3}} = x \]

\[ x = 3^{\frac{10}{3}} \]

6) \( 4x + 2x - 20 = 0 \)

Сложим коэффициенты при \( x \):

\[ 6x - 20 = 0 \]

\[ 6x = 20 \]

\[ x = \frac{20}{6} \]

\[ x = \frac{10}{3} \]

Таким образом, решения уравнений:

1) \( x = 4 \)

2) \( x = 64 \)

3) \( x = 2 \)

4) \( -3 \)

5) \( x = 3^{\frac{10}{3}} \)

6) \( x = \frac{10}{3} \)