Question

ИНТЕГРАЛ dx/((x^1/2)-(x^1/4))

Answer 1

Замена переменной:
 х=t⁴
dx=4t³dt
√x=t²
$\sqrt[4]{x}=t$

$\int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{x} - \sqrt[4]{x} } } \, = \int\limits { \frac{4t ^{3}dt}{t ^{2}-t } } \, =$

$= 4\int\limits { \frac{t\cdot t ^{2} }{t(t-1)} } \, dt =4 \int\limits { \frac{t ^{2}-1+1 }{t-1} } \, dt=$

=$=4 \int\limits {(t+1+ \frac{1}{t-1}) } \, dt=4t ^{2} +4t+4ln|t-1|+C=$

=обратная замена=

=$=4 \sqrt{x} +4 \sqrt[4]{x} +4 ln | \sqrt[4]{x}-1|+C$

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте рассмотрим каждый шаг подробнее.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте введем новую переменную замены. Пусть \( u = x^{1/4} \). Тогда, мы можем выразить \( x \) через \( u \) следующим образом: \( x = u^4 \).

Шаг 2: Вычисление дифференциала

Теперь, чтобы выразить дифференциал \( dx \) через новую переменную, мы можем использовать правило дифференцирования. Заметим, что \( dx = \frac{d}{du}(u^4) \). Посчитаем производную: \( dx = 4u^3 \, du \).

Шаг 3: Замена переменных и упрощение интеграла

Теперь, заменим переменные в исходном интеграле: \[ \int \frac{dx}{x^{1/2} - x^{1/4}} = \int \frac{4u^3 \, du}{u^2 - u} \]

Шаг 4: Факторизация знаменателя

Для упрощения интеграла, давайте разложим знаменатель на множители: \( u^2 - u = u(u - 1) \).

Шаг 5: Частные дроби

Мы можем представить дробь \(\frac{4u^3}{u(u-1)}\) в виде суммы двух частных дробей:

\[ \frac{4u^3}{u(u - 1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u - 1} \]

где \( A \) и \( B \) - неизвестные коэффициенты.

Шаг 6: Нахождение неизвестных коэффициентов

Чтобы найти значения \( A \) и \( B \), мы можем привести дроби справа к общему знаменателю и приравнять числители:

\[ 4u^3 = A(u - 1) + Bu \]

Раскроем скобки:

\[ 4u^3 = Au - A + Bu \]

Сгруппируем переменные:

\[ 4u^3 = (A + B)u - A \]

Теперь, для равенства выполняется условие, что коэффициенты при каждой степени \( u \) должны быть равны. Следовательно:

\[ 4u^3 = (A + B)u \quad \text{(1)} \] \[ -A = 0 \quad \text{(2)} \]

Из уравнения (2) получаем \( A = 0 \), а из уравнения (1) получаем \( A + B = 4 \). Подставляя \( A = 0 \) в уравнение (1), мы получаем \( B = 4 \).

Шаг 7: Разложение на простые дроби

Теперь, когда мы знаем значения \( A \) и \( B \), мы можем разложить исходную дробь на простые дроби:

\[ \int \frac{dx}{x^{1/2} - x^{1/4}} = \int \left( \frac{4}{u} + \frac{4}{u - 1} \right) \, du \]

Шаг 8: Интегрирование

Теперь, мы можем проинтегрировать каждую простую дробь по отдельности:

\[ \int \frac{4}{u} \, du = 4 \ln|u| + C_1 \] \[ \int \frac{4}{u - 1} \, du = 4 \ln|u - 1| + C_2 \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - постоянные интегрирования.

Шаг 9: Обратная замена

Наконец, чтобы получить решение в исходных переменных \( x \), мы должны вернуться к исходной переменной замены \( u = x^{1/4} \):

\[ \int \frac{dx}{x^{1/2} - x^{1/4}} = 4 \ln|x^{1/4}| + C_1 - 4 \ln|x^{1/4} - 1| + C_2 \]

Ответ

Итак, ответ на данный интеграл:

\[ \int \frac{dx}{x^{1/2} - x^{1/4}} = 4 \ln|x^{1/4}| - 4 \ln|x^{1/4} - 1| + C \]

где \( C = C_1 - C_2 \) - постоянная интегрирования.