Question

Помогите, пожалуйста, найти все асимптоты функции: y = x³/(x+1)

Answer 1

$y= \frac{x^3}{x+1} \\\\1)\; \; \lim\limits _{x\to -1}\frac{x^3}{x+1}=\Big [\frac{-1}{0}\Big ]=\infty \quad \Rightarrow$

x= -1  - вертикальная асимптота

$2)\; \; y=kx+b\\\\k=\lim\limits _{x\to \infty }\frac{y(x)}{x}= \lim\limits _{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x+1) }= \lim\limits _{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2+x} =\infty \; \; \; \Rightarrow$

наклонной асимптоты и горизонтальной нет

Answer 2

Асимптоты функции y = x³/(x+1)

Для нахождения асимптот функции y = x³/(x+1), мы должны рассмотреть три типа асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты возникают, когда функция стремится к бесконечности в определенных точках. Чтобы найти вертикальные асимптоты, мы должны рассмотреть значения x, при которых знаменатель функции равен нулю.

В данном случае, знаменатель функции равен (x+1). Чтобы найти значения x, при которых знаменатель равен нулю, решим уравнение (x+1) = 0.

(x+1) = 0 x = -1

Таким образом, у функции y = x³/(x+1) есть вертикальная асимптота при x = -1.

2. Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты возникают, когда функция стремится к определенному значению при x, стремящемся к бесконечности. Чтобы найти горизонтальные асимптоты, мы должны рассмотреть предел функции при x, стремящемся к бесконечности.

Для функции y = x³/(x+1), чтобы найти горизонтальные асимптоты, рассмотрим предел функции при x, стремящемся к бесконечности:

lim(x→∞) (x³/(x+1))

Чтобы вычислить этот предел, мы можем использовать правило Лопиталя, которое позволяет нам вычислить предел отношения двух функций, если оба предела числителя и знаменателя равны бесконечности или нулю.

Применим правило Лопиталя:

lim(x→∞) (x³/(x+1)) = lim(x→∞) (3x²/1) = ∞

Таким образом, у функции y = x³/(x+1) нет горизонтальных асимптот.

3. Наклонные асимптоты:

Наклонные асимптоты возникают, когда функция стремится к прямой линии при x, стремящемся к бесконечности. Чтобы найти наклонные асимптоты, мы должны рассмотреть предел разности функции и прямой линии при x, стремящемся к бесконечности.

Для функции y = x³/(x+1), чтобы найти наклонные асимптоты, рассмотрим предел разности функции и прямой линии при x, стремящемся к бесконечности:

lim(x→∞) (x³/(x+1)) - mx - b

где m и b - коэффициенты наклонной асимптоты.

Чтобы найти коэффициенты наклонной асимптоты, мы можем разделить числитель и знаменатель функции на x:

y = (x³/x)/(x/x+1/x) y = (x²)/(1+1/x)

Теперь мы можем найти предел разности функции и прямой линии:

lim(x→∞) ((x²)/(1+1/x)) - mx - b

Поскольку x стремится к бесконечности, 1/x стремится к нулю, поэтому мы можем пренебречь слагаемым 1/x в знаменателе:

lim(x→∞) ((x²)/(1+0)) - mx - b lim(x→∞) (x²) - mx - b

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при x² в числителе и знаменателе:

1 = -m

Таким образом, коэффициент наклонной асимптоты равен m = -1.

Теперь мы можем найти свободный член b, подставив m = -1 в уравнение:

1 = -(-1) + b 1 = 1 + b b = 0

Таким образом, у функции y = x³/(x+1) есть наклонная асимптота с коэффициентом наклона m = -1 и свободным членом b = 0.

Итоговый ответ:

У функции y = x³/(x+1) есть вертикальная асимптота при x = -1 и наклонная асимптота с коэффициентом наклона m = -1 и свободным членом b = 0.