Question

вычислить интеграл ∫dx/(x*(lnx)^2)

Answer 1

$\int{ \frac{dx}{xln^2x} }\, =\int{ \frac{d(lnx)}{ln^2x} }=-\frac{1}{lnx}+C$

Answer 2

$\boxed{\bf \int \frac{dx}{x*(lnx)^2}\int \frac{dlnx}{\frac{1}x*x*(lnx)^2}=\int \frac{dlnx}{(lnx)^2}=-\frac{1}{lnx}+C}$

Answer 3

Чтобы вычислить данный интеграл, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям. Интегрирование по частям основано на формуле:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

где \(u\) и \(v\) - это функции, а \(du\) и \(dv\) - их дифференциалы. Выберем:

\[ u = \frac{1}{\ln x} \quad \text{и} \quad dv = \frac{dx}{x} \]

Тогда найдем соответствующие дифференциалы:

\[ du = -\frac{dx}{(\ln x)^2} \quad \text{и} \quad v = \ln x \]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int \frac{dx}{x(\ln x)^2} = uv - \int v \, du \]

\[ = \frac{\ln x}{\ln x} - \int \ln x \left(-\frac{dx}{(\ln x)^2}\right) \]

\[ = 1 + \int \frac{dx}{\ln x} \]

Теперь рассмотрим интеграл \(\int \frac{dx}{\ln x}\). Для его вычисления воспользуемся заменой переменной. Пусть \(t = \ln x\), тогда \(dt = \frac{1}{x} \, dx\), и интеграл принимает вид:

\[ \int \frac{dx}{\ln x} = \int \frac{1}{t} \, dt = \ln |t| + C \]

где \(C\) - константа интегрирования. Подставим обратную замену \(t = \ln x\):

\[ \ln |t| + C = \ln |\ln x| + C \]

Таким образом, исходный интеграл равен:

\[ \int \frac{dx}{x(\ln x)^2} = 1 + \ln |\ln x| + C \]

где \(C\) - константа интегрирования.