Question

Решите систему уравнений: 1)7х+6у=29 и 3х-5у=20 2)4х+5у=12 и 8х+10у=22. При каком значении а система уравнений 2х+3у=5 и ах-6у=-10 имеет бесконечно много решений ?

Answer 1

1)
{ 7x + 6y = 29
{ 3x - 5y = 20
Умножаем 1 уравнение на 5, а 2 уравнение на 6
{ 35x + 30y = 145
{ 18x - 30y = 120
Складываем уравнения.
53x + 0y = 265
53x = 53*5
x = 5
Подставляем в любое уравнение
7*5 + 6y = 29
6y = 29 - 35 = -6
y = -1
Ответ: (5; -1)

2)
{ 4x + 5y = 12
{ 8x + 10y = 22
Умножаем 1 уравнение на -2
{ -8x - 10y = -24
{ 8x + 10y = 22
Складываем уравнения
0 = -2 - это неверно, и не зависит от переменных.
Значит, ни при каких переменных x и y система не выполняется.
Ответ: Решений нет.

3) 
{ 2x + 3y = 5
{ ax - 6y = -10
Решений будет бесконечно много, если в результате умножения и сложения уравнений получится равенство 0 = 0, которое верно при любых x и y.
Умножаем 1 уравнение на 2
{ 4x + 6y = 10
{ ax - 6y = -10
Складываем уравнения
4x + ax + 0y = 0
x(a + 4) = 0
Это выполнено при a = -4

Answer 2

Давайте начнем с решения первой системы уравнений:

1) \(7x + 6y = 29\)

2) \(3x - 5y = 20\)

Мы можем использовать метод умножения одного уравнения на число и сложения/вычитания уравнений для устранения одной из переменных. Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от переменной \(y\):

1) \(7x + 6y = 29\)

2') \(6x - 10y = 40\)

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

\[(7x + 6y) - (6x - 10y) = 29 - 40\]

Упростим:

\[x + 16y = -11\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) \(x + 16y = -11\)

2') \(6x - 10y = 40\)

Теперь мы можем решить эту систему. Для этого давайте умножим первое уравнение на 10 и второе на 16, чтобы избавиться от переменной \(y\):

1) \(10x + 160y = -110\)

2') \(96x - 160y = 640\)

Теперь сложим оба уравнения:

\[(10x + 160y) + (96x - 160y) = -110 + 640\]

Упростим:

\[106x = 530\]

Теперь разделим обе стороны на 106:

\[x = \frac{530}{106} = 5\]

Теперь мы можем подставить \(x\) обратно в любое из исходных уравнений, например, в первое:

\[7x + 6y = 29\]

\[7 \cdot 5 + 6y = 29\]

\[35 + 6y = 29\]

\[6y = -6\]

\[y = -1\]

Таким образом, решение первой системы уравнений: \(x = 5, y = -1\).

Теперь перейдем ко второй системе:

1) \(4x + 5y = 12\)

2) \(8x + 10y = 22\)

Мы можем заметить, что второе уравнение просто удвоено по сравнению с первым. Это означает, что эти уравнения зависимы, и система имеет бесконечно много решений. Если мы разделим второе уравнение на 2, получим первое уравнение. Это означает, что любая пара значений \(x\) и \(y\), удовлетворяющая первому уравнению, также удовлетворяет второму. Таким образом, у нас есть бесконечно много решений для этой системы.

Теперь перейдем к последней части вопроса: при каком значении \(a\) система уравнений

1) \(2x + 3y = 5\)

2) \(ax - 6y = -10\)

имеет бесконечно много решений?

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть зависимыми. Это произойдет, если второе уравнение можно получить, умножив первое на какое-то число. В данном случае, если умножить первое уравнение на 2, мы получим второе:

\[2(2x + 3y) = 2(5)\]

\[4x + 6y = 10\]

Таким образом, при \(a = 4\), система будет иметь бесконечно много решений.