Question

Докажите, что в каждом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.

Answer 1

Треугольник АВС - равнобедренный, след-но углы при оновании раны, след-во и углы 1, 2, 3, 4 раны(т.к. АЕ и СК - биссектрисы). Треуг.АКС=треуг.АЕС (угл 2=углу 4, угл ВАС = углу ВСА, сторона АС - общая) по стороне и прилежащим к ней углам, след-но КС=АЕ. :)

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB = AC\). Пусть \(AD\) и \(AE\) - биссектрисы угла \(A\), где \(D\) находится на \(BC\) и \(E\) на \(BC\). Мы хотим доказать, что \(AD = AE\).

Для начала обратим внимание на свойства биссектрисы. Биссектриса угла делит противолежащий угол на две равные части и делит противолежащую сторону в отношении к двум другим сторонам треугольника.

Теперь давайте рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACE\):

В треугольнике \(ABD\): \[ \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} \quad \text{(по свойству биссектрисы)} \] Так как \(AB = AC\) (по условию равнобедренности треугольника), можно записать: \[ \frac{AD}{BD} = \frac{AB}{BC} \] Аналогично, в треугольнике \(ACE\): \[ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \]

Из этих двух уравнений следует, что: \[ \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \]

Теперь давайте объединим уравнения, связанные с отношениями сторон \(BD\) и \(EC\): \[ \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} = \frac{AD + AE}{BD + EC} = \frac{AD + AE}{BC} \]

Так как \(BD + EC = BC\) (по свойству сторон треугольника), получаем: \[ \frac{AD + AE}{BC} = \frac{AD + AE}{BC} \]

Из этого следует, что \(AD = AE\), так как обе дроби равны. Это доказывает, что биссектрисы угла \(A\), проведенные к боковым сторонам, равны в равнобедренном треугольнике.