Question

Помогите, пожалуйста, решить:Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости: ∞1)∑ = 1/ n*5^n n-12)∞ ∑ =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1) n-1 ∞3)∑ = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n n-3

Answer 1

Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n5^n}$

Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера ($\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$)

 

$\lim_{n \to \infty} \frac{n5^n}{(n+1)5^{n+1}} = \frac{1}{5}<1$

т.е. ряд сходится абсолютно

 

2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

$\lim_{n \to \infty} |\frac{n}{2^n(n+1)}|=0$

- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

воспользуемся признаком сравнения

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

 

3) $\sum_{n=3}^{\infty}\frac{n^2-5}{5^n}*(x-5)^n$

Воспользуемся признаком Даламбера

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 - 5}{5^{n+1}}\frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=\frac{1}{5}|x-5|$

Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|<1 ⇔ |x-5|<5 ⇔ -5<x-5<5 ⇔ 0<x<10

Остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-5)^n(n^2-5)}{5^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n^2-5)$

ряд расходится

б) x=10

  $\sum_{n=3}^{\infty}\frac{5^n(n^2-5)}{5^n}=\sum_{n=3}^{\infty}(n^2-5)$

ряд расходится

Т.е. область сходимости ряда (0, 10)

Answer 2

Ряд на сходимость

Для каждого из представленных рядов мы сначала исследуем сходимость, а затем найдем область сходимости для степенного ряда.

1) Ряд: ∑ = 1/(n*5^n + n - 1)

Для исследования сходимости этого ряда мы можем использовать признак сравнения. Для этого выберем положительный ряд с положительными членами, сумма которого сходится или расходится.

Рассмотрим ряд ∑ = 1/(n*5^n). Этот ряд сходится, так как его члены убывают монотонно и стремятся к нулю при n -> ∞.

Теперь сравним данный ряд с рядом ∑ = 1/(n*5^n + n - 1). Поскольку оба ряда имеют положительные члены и числитель во втором ряду больше числителя в первом ряду, то справедливо неравенство:

1/(n*5^n + n - 1) < 1/(n*5^n)

Так как ряд ∑ = 1/(n*5^n) сходится, то по признаку сравнения исследуемый ряд ∑ = 1/(n*5^n + n - 1) также сходится.

2) Ряд: ∑ = ((-1)^n)*n / (2^n * (n+1) * (n-1))

Для исследования сходимости этого ряда мы также можем использовать признак сравнения. Для этого выберем положительный ряд с положительными членами, сумма которого сходится или расходится.

Рассмотрим ряд ∑ = 1/(2^n). Этот ряд сходится, так как его члены убывают монотонно и стремятся к нулю при n -> ∞.

Теперь сравним данный ряд с рядом ∑ = ((-1)^n)*n / (2^n * (n+1) * (n-1)). Поскольку оба ряда имеют положительные члены и знаменатель во втором ряду больше знаменателя в первом ряду, то справедливо неравенство:

((-1)^n)*n / (2^n * (n+1) * (n-1)) < 1/(2^n)

Так как ряд ∑ = 1/(2^n) сходится, то по признаку сравнения исследуемый ряд ∑ = ((-1)^n)*n / (2^n * (n+1) * (n-1)) также сходится.

3) Ряд: ∑ = ((n^2 - 5) / 5^n) * (x - 5)^n

В данном случае мы рассматриваем *степенной ряд* с переменной x. Чтобы найти область сходимости, мы можем использовать признак Даламбера.

Признак Даламбера гласит, что если существует такое число q (0 ≤ q < 1), что для всех достаточно больших n выполняется:

|(a_{n+1} / a_n)| ≤ q

где a_n - общий член ряда, то ряд абсолютно сходится.

Рассмотрим отношение соседних членов ряда:

|(a_{n+1} / a_n)| = |((n+1)^2 - 5) / ((n^2 - 5) * 5)| * |(x - 5)|

Обратите внимание, что здесь переменная x не влияет на сходимость ряда, поэтому мы можем игнорировать ее при исследовании сходимости.

Исследуем только числитель отношения:

|((n+1)^2 - 5) / ((n^2 - 5) * 5)|

При n -> ∞, числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Поэтому мы можем применить правило Лопиталя для вычисления предела:

lim (n -> ∞) ((n+1)^2 - 5) / ((n^2 - 5) * 5) = lim (n -> ∞) (2n + 1) / (2n * 5) = 1/10

Таким образом, существует число q = 1/10 (0 ≤ q < 1), для которого выполняется неравенство:

|(a_{n+1} / a_n)| ≤ q

Следовательно, по признаку Даламбера ряд ∑ = ((n^2 - 5) / 5^n) * (x - 5)^n абсолютно сходится при |(x - 5)| < 10.

Таким образом, область сходимости для степенного ряда ∑ = ((n^2 - 5) / 5^n) * (x - 5)^n является интервалом (5 - 10, 5 + 10) или (-5, 15).

Надеюсь, это поможет вам решить задачу по исследованию рядов на сходимость и найти их области сходимости. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!