Question

Представьте в виде квадрата суммы выражение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)+1

Answer 1

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)\cdot \; (x+2)(x+3)+1=\\=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1=((x^2+5x)+4)((x^2+5x)+6)+1=\\=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1=\\=(x^2+5x)^2+2\cdot 5\cdot (x^2+5x)+25=((x^2+5x)+5)^2$ 

Answer 2

Для представления выражения \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1\) в виде квадрата суммы, давайте воспользуемся формулой квадрата суммы. Эта формула гласит:

\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]

где \(a\) и \(b\) - это произвольные числа. Мы хотим преобразовать наше выражение к этому виду.

Рассмотрим первые два множителя:

\((x + 1)(x + 2)\)

Применим формулу квадрата суммы:

\[(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2\]

Теперь у нас есть:

\[(x^2 + 3x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1\]

Рассмотрим следующие два множителя:

\((x^2 + 3x + 2)(x + 3)\)

Применим формулу квадрата суммы ещё раз:

\[(x^2 + 3x + 2)(x + 3) = (x^2 + 3x + 2x + 6)(x + 3) = (x^2 + 5x + 6)(x + 3)\]

Теперь у нас есть:

\[(x^2 + 5x + 6)(x + 3)(x + 4) + 1\]

Рассмотрим последние два множителя:

\((x^2 + 5x + 6)(x + 4)\)

Опять применим формулу квадрата суммы:

\[(x^2 + 5x + 6)(x + 4) = (x^2 + 5x + 6x + 24) = (x^2 + 11x + 24)\]

Теперь у нас получается:

\[(x^2 + 11x + 24) + 1\]

Сложим с константой 1:

\[x^2 + 11x + 25\]

Таким образом, выражение \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1\) можно представить в виде квадрата суммы как \((x + 5)^2\).