Question

Sin alfa×cos3 alfa+sin3 alfa×cos alfa

Answer 1

Sinα*cos3α+sin3αcosα=sin(α+3α)=sin4α

Answer 2

Для начала, давайте приведем данное выражение к более простому виду, используя формулы тригонометрии.

По формуле синуса суммы, мы имеем:

sin(α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β

Применим эту формулу к выражению sin α * cos 3α + sin 3α * cos α:

sin α * cos 3α + sin 3α * cos α = sin α * cos α * cos 2α + sin α * sin 2α * cos α

Теперь воспользуемся формулами двойного угла:

cos 2α = 1 - 2 * sin^2 α sin 2α = 2 * sin α * cos α

Подставим эти значения в наше выражение:

sin α * cos α * cos 2α + sin α * sin 2α * cos α = sin α * cos α * (1 - 2 * sin^2 α) + sin α * (2 * sin α * cos α) * cos α

Далее, раскроем скобки:

sin α * cos α * (1 - 2 * sin^2 α) + sin α * (2 * sin α * cos α) * cos α = sin α * cos α - 2 * sin^3 α * cos α + 2 * sin^2 α * cos^2 α

Теперь, объединим подобные слагаемые:

sin α * cos α - 2 * sin^3 α * cos α + 2 * sin^2 α * cos^2 α = sin α * cos α + sin^2 α * (2 * cos^2 α - 2 * sin^2 α)

Используем формулу синуса суммы:

sin α * cos α + sin^2 α * (2 * cos^2 α - 2 * sin^2 α) = sin α * cos α + sin^2 α * cos 2α

Таким образом, исходное выражение sin α * cos 3α + sin 3α * cos α равно sin α * cos α + sin^2 α * cos 2α.

Answer 3

Для решения данного выражения, нам необходимо знать значения функций синуса и косинуса для угла альфа.

Пусть угол альфа равен θ. Тогда мы можем записать данное выражение в виде:

sin(θ) * cos(3θ) + sin(3θ) * cos(θ)

Используя формулы приведения для синуса и косинуса, мы можем переписать выражение:

(sin(θ) * cos(θ) * cos(2θ)) + (sin(θ) * cos(θ) * cos(2θ) - cos(θ) * sin(θ) * sin(2θ))

Заметим, что первое и второе слагаемые идентичны, поэтому мы можем записать выражение в более компактной форме:

2 * sin(θ) * cos(θ) * cos(2θ) - sin(θ) * sin(2θ)

Мы можем использовать формулы двойного угла для синуса и косинуса, чтобы дальше упростить выражение:

2 * sin(θ) * cos(θ) * (2 * cos^2(θ) - 1) - 2 * sin(θ) * cos(θ) * sin(θ) * cos(θ)

Теперь мы можем раскрыть скобки и упростить выражение:

4 * sin(θ) * cos^3(θ) - 2 * sin(θ) * cos(θ) - 2 * sin^2(θ) * cos^2(θ)

Данное выражение является итоговым ответом.