Question

площадь прямоугольника равна 972см2, а длина его диагонали - 45 см. Найдите длины сторон прямоугольника

Answer 1

1)Рассм. прямоугольный треуг-к АВD, образованный одной из диагоналей и 2 сторонами прямоугольника(а - первая сторона, b - вторая сторона). Тогда по теореме пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

45^2 = a^2 + b^2

Площадь прямоугольника - это произведение сторон а и b:

a * b = 972

a^2 + b^2 можно представить как полный квадрат:

(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2              (a^2 + b^2 + 2ab) - 2ab = a^2 + b^2

2)Теперь вместо ab подставляем 972, вместо a^2 + b^2 - 45^2 (или 2025)

(a + b)^2 - 1944 = 2025

(a + b)^2 = 3989

a + b = кв. корень 3969 = 63 

3)Теперь решим систему нера-в:

a + b = 63

a * b = 972, выражаем а через 1-ое урав-е и подставляем во второе:

a = 63 - b

(63 - b) * b = 972

a = 63 - b

63b - b^2 - 972 = 0

a = 63 - b

(b - 27) * (b - 36) = 0 , (следовательно 27 и 36 - корни кв. урав-я),

а = 36                      a = 27

b = 27,                     b = 36, следовательно

27 см и 36 см - длины сторон прямоугольника.

Ответ: 27 и 36

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$S = ab$$, а длина его диагонали равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного этими сторонами: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Из этих двух уравнений мы можем выразить одну из сторон через другую и подставить во второе уравнение, чтобы получить квадратное уравнение относительно одной переменной. Например, выразим $$b$$ через $$a$$: $$b = \frac{S}{a}$$ и подставим в уравнение для $$d$$: $$d = \sqrt{a^2 + \left(\frac{S}{a}\right)^2}$$

Упростим это уравнение, переместив $$d$$ в левую часть и возводя обе части в квадрат: $$d^2 - a^2 - \left(\frac{S}{a}\right)^2 = 0$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$a^4 - d^2a^2 - S^2 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $$a^2$$, которое мы можем решить с помощью формулы: $$a^2 = \frac{d^2 \pm \sqrt{d^4 + 4S^2}}{2}$$

Подставим известные значения $$S = 972$$ и $$d = 45$$ и получим: $$a^2 = \frac{2025 \pm \sqrt{4100625}}{2}$$

Вычислим корень и получим два значения для $$a^2$$: $$a^2 \approx 18.03$$ или $$a^2 \approx 53.97$$

Извлечем корень из обоих значений и получим два значения для $$a$$: $$a \approx 4.24$$ или $$a \approx 7.35$$

Теперь мы можем найти соответствующие значения для $$b$$, подставив значения $$a$$ в формулу $$b = \frac{S}{a}$$: $$b \approx 22.94$$ или $$b \approx 13.22$$

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны приблизительно 4.24 см и 22.94 см или 7.35 см и 13.22 см. Это два возможных варианта решения задачи.