Question

Докажите неравенство для положительных значений переменных:x+y≤(x/y+y/x)*√yx

Answer 1

так как x>0; y>0, то

$x+y \leq (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)xy \leq (x^2+y^2)\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {x+y}{2}* 2\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {(x+y)^2}{2} \leq (x^2+y^2);\\ \frac {x+y}{2} \leq \sqrt \frac {x^2+y^2}{2}$

чтосправедливо как неравенство между средним арифмитечским и средним квадратическим

Доказано.

 

 

$\sqrt(xy) \leq \ \frac{x+y}{2}$ - неравенство между средним геометрическим и средним арифмитическим

 

 

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство для положительных значений переменных \(x\) и \(y\).

Неравенство звучит так: \[x + y \leq \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \cdot \sqrt{yx}\]

Для начала, давайте упростим выражение \(\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)\). Мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных чисел.

Среднее арифметическое двух чисел \(a\) и \(b\) больше или равно их среднего гармонического: \[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\]

Применим это к числам \(\frac{x}{y}\) и \(\frac{y}{x}\): \[\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \geq \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 1\]

Теперь давайте умножим обе части неравенства на \(\sqrt{yx}\): \[\frac{\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \cdot \sqrt{yx}}{2} \geq \sqrt{yx}\]

Теперь вернемся к исходному неравенству и заметим, что оно содержит именно это выражение:

\[x + y \leq \frac{\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \cdot \sqrt{yx}}{2}\]

Исходя из нашего рассмотрения, мы убедились, что \(\frac{\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \cdot \sqrt{yx}}{2}\) больше или равно \(x + y\). Таким образом, данное неравенство верно для положительных значений переменных \(x\) и \(y\).