Question

Можно ли найти 10 таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними 9 последовательных натуральных чисел?

Answer 1

Нет, конечно.
Сумма девяти следующих за ними чисел всегда будет больше.

Ответ: нет.

Answer 2

Дано:
10 чисел: (n-9),  (n-8) ,..., n
док-ть: (n-9)²+(n-8)²+...+n²= (n+1)²+(n+2)²+...+(n+9)²

док-во:
n²=(n+9)²-(n-9)²  + (n+8)²-n+8)² +...+ (n+1)²-(n-1)²
n²=2n(18+16+...+2)
n²=180n
n=180,    отсюда следует, что  при n=180 будет:
171²+172²+ ... +180² =181²+182²+...+189²
      ответ: МОЖНО

Answer 3

Да, можно найти такие последовательные натуральные числа. Давайте обозначим искомые числа как \( n, n+1, n+2, ..., n+9 \). Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

\[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + ... + (n+9)^2 = (n+10)^2 + (n+11)^2 + ... + (n+18)^2 \]

Если провести вычисления, уравнение примет вид:

\[ 10n^2 + 180n + 285 = 10n^2 + 300n + 385 \]

Выражая \( n \), получим:

\[ -120n = -100 \Rightarrow n = \frac{100}{120} = \frac{5}{6} \]

Это дробное число, что означает, что сумма квадратов натуральных чисел в такой последовательности не будет целым числом. Таким образом, для поиска последовательности, удовлетворяющей условию задачи, необходимо использовать другой подход.