Question

1.Пусть x1 и x2 - корни квадратного уравнения x^2-4x+2=0.Составьте квадратное уравнение,корнями которого являются числа 2x1 и 2x2 2.Решите уравнение: (x-5)^2+(x-3)^2=2

Answer 1

[1] Используем знания о Теореме Виета:
[1.1] x₁ + x₂ = - (- 4) = 4, тогда корень другого квадратного уравнения:
2x₁ + 2x₂ = | выносим за скобку 2 | = 2 * (x₁ + x₂) = | делаем замену | = 2 * 4 = 8 
[1.2] x₁x₂ = 2, тогда корень другого квадратного уравнения: 
2x₁2x₂ = 4 * (x₁x₂) = 4 * 2 = 8, отсюда составим квадратное уравнение:
$x^{2} -8x+8=0$

[2] Раскроем скобки:
x² - 10x + 25 + x² - 6x + 9 - 2 = 0
2x² - 16x + 32 = 0 | вынесем 2 за скобку |
2(x² - 8x + 16) = 0 | решим квадратное уравнение |
D = 64 - 64 = 0, x = - (- 8) / 2 = 4.
[Проверка]
(-1)² + 1² = 2
1 + 1 = 2
2 = 2
[Ответ]: 4

Answer 2

Давайте решим по порядку.

1. Квадратное уравнение с корнями \(x_1\) и \(x_2\):

У вас дано уравнение: \(x^2 - 4x + 2 = 0\).

Квадратное уравнение в общем виде выглядит так: \(ax^2 + bx + c = 0\).

Сравним коэффициенты:

\[a = 1, \quad b = -4, \quad c = 2.\]

Корни \(x_1\) и \(x_2\) можно найти с использованием формул Виета:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{и} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]

Подставим значения:

\[x_1 + x_2 = -\frac{(-4)}{1} = 4\]

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{1} = 2\]

Таким образом, у нас есть корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 2\).

2. Квадратное уравнение с корнями \(2x_1 + 2\) и \(2x_2 + 2\):

Если у нас есть корень \(x_1\), то \(2x_1\) — это корень уравнения с коэффициентами в два раза больше. То есть, корень \(2x_1 + 2\) будет корнем уравнения с коэффициентами \(1 \cdot 2 = 2\), \(-4 \cdot 2 = -8\) и \(2 \cdot 2 = 4\).

Таким образом, квадратное уравнение с корнями \(2x_1 + 2\) и \(2x_2 + 2\) будет выглядеть так:

\[2x^2 - 8x + 4 = 0.\]

3. Решение уравнения \((x-5)^2 + (x-3)^2 = 2\):

Раскроем скобки:

\[x^2 - 10x + 25 + x^2 - 6x + 9 = 2.\]

Сгруппируем по степеням \(x\):

\[2x^2 - 16x + 32 = 0.\]

Теперь решим это уравнение. Вы можете использовать дискриминант или завершение квадрата. Давайте воспользуемся дискриминантом:

\[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(2)(32) = 256 - 256 = 0.\]

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-16)}{2(2)} = \frac{16}{4} = 4.\]

Таким образом, уравнение \((x-5)^2 + (x-3)^2 = 2\) имеет единственный корень \(x = 4\).