Question

Найдите наименьшее значение выражения ( 5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2 И значения x и y, при которых оно достигается.

Answer 1

Берем частные поризводные и приравниваем к 0
z(x, y) = (5x - 4y + 3)^2 + (3x - y - 1)^2
dz/dx = 2(5x - 4y + 3)*5 + 2(3x - y - 1)*3 = 10(5x - 4y + 3) + 6(3x - y - 1) = 0
dz/dy = 2(5x - 4y + 3)*(-4) + 2(3x - y - 1)*(-1) = -8(5x - 4y + 3) - 2(3x - y - 1) = 0
Решаем систему
{ 50x - 40y + 30 + 18x - 6y - 6 = 0
{ -40x + 32y - 24 - 6x + 2y + 2 = 0
Приводим подобные и сокращаем на 2
{ 34x - 23y + 12 = 0
{ -23x + 17y - 11 = 0
Умножаем 1 ур на 17, а 2 на 23
{ 578x -23*17y + 204 = 0
{ -529x + 23*17y - 253 = 0
Складываем уравнения
49x - 49 = 0, x = 1
23y = 34 + 12 = 46, y = 2

Точка минимума: x = 1, y = 2
z(1, 2) = (5 - 8 + 3)^2 + (3 - 2 - 1)^2 = 0 + 0 = 0

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно найти наименьшее значение выражения $(5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2$ и соответствующие значения $x$ и $y$, при которых это значение достигается.

Решение:

Для начала, давайте разложим каждое слагаемое в квадратичных выражениях:

$(5x-4y+3)^2 = 25x^2 - 40xy + 16y^2 + 30x - 24y + 9$

$(3x-y-1)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2 - 6x + 2y + 1$

Теперь, сложим два выражения:

$(5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2 = 25x^2 - 40xy + 16y^2 + 30x - 24y + 9 + 9x^2 - 6xy + y^2 - 6x + 2y + 1$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$34x^2 - 46xy + 17y^2 + 24x - 22y + 10$

Теперь у нас есть квадратичное уравнение с переменными $x$ и $y$. Чтобы найти наименьшее значение этого выражения, мы можем воспользоваться методом дифференцирования.

Для этого, возьмем частные производные по $x$ и $y$ и приравняем их к нулю:

$\frac{\partial}{\partial x}(34x^2 - 46xy + 17y^2 + 24x - 22y + 10) = 0$

$\frac{\partial}{\partial y}(34x^2 - 46xy + 17y^2 + 24x - 22y + 10) = 0$

Вычислим эти производные:

$\frac{\partial}{\partial x}(34x^2 - 46xy + 17y^2 + 24x - 22y + 10) = 68x - 46y + 24$

$\frac{\partial}{\partial y}(34x^2 - 46xy + 17y^2 + 24x - 22y + 10) = -46x + 34y - 22$

Теперь, приравняем каждую производную к нулю:

$68x - 46y + 24 = 0$

$-46x + 34y - 22 = 0$

Решая эти два уравнения, мы найдем значения $x$ и $y$, при которых наименьшее значение достигается.