Question

Докажите что 387^3-249^3 делится на 138

Answer 1

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\387^3-249^2=(387-249)(387^2+387*249+249^2)=\\=138*(387^2+387*249+249^2)$
т.е. это кратно 138

Answer 2

Чтобы доказать, что число 387^3 - 249^3 делится на 138, мы можем использовать теорему деления с остатком.

Теорема деления с остатком гласит, что для любых целых чисел a и b, где b не равно нулю, существуют уникальные целые числа q и r, такие что a = bq + r, где q - частное, а r - остаток, причем 0 <= r < |b|.

В данном случае, мы хотим доказать, что (387^3 - 249^3) делится на 138. Предположим, что это число действительно делится на 138. Это означает, что существует целое число k, такое что (387^3 - 249^3) = 138k.

Разложение на множители

Давайте сначала разложим числа 387^3 и 249^3 на множители, чтобы лучше понять их структуру.

387^3 = (3 * 129)^3 = 3^3 * 129^3 = 27 * 129^3 249^3 = (3 * 83)^3 = 3^3 * 83^3 = 27 * 83^3

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом: (387^3 - 249^3) = (27 * 129^3 - 27 * 83^3)

Факторизация

Давайте факторизуем выражение по общему множителю (27): (387^3 - 249^3) = 27 * (129^3 - 83^3)

Разность кубов

Мы можем использовать формулу разности кубов, чтобы упростить эту разность: a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + ab + b^2)

Применяя эту формулу к выражению (129^3 - 83^3), получим: (129^3 - 83^3) = (129 - 83) * (129^2 + 129 * 83 + 83^2)

Упрощение

Теперь мы можем упростить выражение: (387^3 - 249^3) = 27 * (46) * (129^2 + 129 * 83 + 83^2)

Проверка деления на 138

Теперь давайте проверим, делится ли это выражение на 138. Если оно делится на 138, то существует целое число k, такое что (387^3 - 249^3) = 138k.

Мы можем записать упрощенное выражение в виде: (387^3 - 249^3) = 27 * 46 * (129^2 + 129 * 83 + 83^2)

Чтобы это выражение делилось на 138, 27 * 46 должно делиться на 138. Проверим:

(27 * 46) / 138 = 1

Таким образом, мы видим, что 27 * 46 действительно делится на 138 без остатка.

Вывод

Мы доказали, что (387^3 - 249^3) делится на 138, так как мы показали, что 27 * 46 делится на 138 без остатка. Таким образом, начальное выражение (387^3 - 249^3) также делится на 138 без остатка.