Question

При каких значениях a и b возможно равенство? sinx=(a+b)/(a-b), где a не равно b.

Answer 1

Синус может изменяться от -1 до 1. Значит, можно составить следующее неравенство:
$-1 \leq \frac{a+b}{a-b} \leq 1$
Можно домножить его на a-b, так как условие позволяет. Но нужно следить за знаками:
$\left \{ {{a-b\ \textgreater \ 0} \atop {b-a \leq a+b \leq a-b}} \right. \\ \left \{ {{a\ \textgreater \ b} \atop { \left \{ {{a+b \geq b-a} \atop {a+b \leq a-b}} \right. }} \right. \\ \left \{ {{a\ \textgreater \ b} \atop { \left \{ {{a \geq 0} \atop {b \leq 0}} \right. }} \right.$
На рисунке 1 рассмотрена эта ситуация. Т. е. подходят всё точки в закрашенной области.
Рассмотрим другой случай:
$\left \{ {{a-b\ \textless \ 0} \atop {b-a \geq a+b \geq a-b}} \right. \\ \left \{ {{a\ \textless \ b} \atop { \left \{ {{a+b \leq b-a} \atop {a+b \geq a-b}} \right. }} \right. \\ \left \{ {{a\ \textless \ b} \atop { \left \{ {{a \leq 0} \atop {b \geq 0}} \right. }} \right.$
На рисунке 1 рассмотрена эта ситуация. Снова же, подходят всё точки в закрашенной области.

Из этих двух рисунков можно сделать вывод, что равенство возможно в ситуациях, когда a и b имеют разные знаки.

Answer 2

Для начала рассмотрим равенство sin(x) = (a+b)/(a-b) и попробуем привести его к более удобному виду.

Умножим обе части уравнения на (a-b), получим sin(x)(a-b) = a+b.

Раскроем скобки слева: a*sin(x) - b*sin(x) = a+b.

Приравняем к нулю: a*sin(x) - b*sin(x) - a - b = 0.

Теперь приведем подобные слагаемые: (a - b)*sin(x) - (a + b) = 0.

Получили уравнение (a - b)*sin(x) = a + b.

Теперь рассмотрим возможные значения a и b.

Если a = b, то уравнение (a - b)*sin(x) = a + b превращается в 0*sin(x) = 2a, что невозможно, так как sin(x) не может быть равным 0 при ненулевом значении x. Значит, a не может быть равно b.

Таким образом, a и b должны быть различными значениями.

Ответ: при любых значениях a и b, где a не равно b, возможно равенство sin(x) = (a+b)/(a-b).