Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y корень из x и y=1/2x

Answer 1

Находим точки пересечения одной ветви параболы у=√х и прямой у=¹/₂х.
¹/₂ х = √х
¹/₄ х² - х = 0
х(¹/₄ х - 1) = 0
х₁=0              ¹/₄ х - 1=0
                      х=1·4
                      х₂=4

Находим площадь фигуры.
S=∫₀⁴(√x - ¹/₂ x)dx = ((2x√x)/3 - x²/4)|₀⁴ = ¹⁶/₃ - 4 = 5¹/₃ - 4 = 1¹/₃ (кв.ед.) 

Ответ. 1¹/₃ кв.ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = √x и y = 1/2x, нужно найти точки их пересечения и вычислить интеграл площади между этими линиями.

Для начала найдем точки пересечения этих двух линий. Приравняем уравнения:

√x = 1/2x

Возведем обе части уравнения в квадрат:

x = (1/2x)^2

x = 1/4x^2

Перенесем все в одну часть уравнения:

0 = 1/4x^2 - x

0 = x(1/4x - 1)

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 4.

Площадь фигуры между этими двумя линиями можно вычислить с помощью интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - границы интегрирования, f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В данном случае, верхняя функция f(x) = √x, а нижняя функция g(x) = 1/2x.

Таким образом, площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫[0,4] (√x - 1/2x) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, нужно разложить его на два интеграла:

S = ∫[0,4] √x dx - ∫[0,4] 1/2x dx

Первый интеграл можно вычислить с помощью правила замены переменной:

Пусть u = √x, тогда du = 1/(2√x) dx.

Тогда первый интеграл примет вид:

∫[0,4] √x dx = ∫[0,2] 2u du = u^2 |[0,2] = 2^2 - 0^2 = 4

Второй интеграл можно вычислить как:

∫[0,4] 1/2x dx = (1/2) ∫[0,4] x dx = (1/2)(x^2/2) |[0,4] = (1/2)(4^2/2) = 4

Тогда площадь фигуры равна:

S = 4 - 4 = 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = √x и y = 1/2x, равна 0.