Question

Ребят, ОЧЕНЬ СРОЧНО надо)) помогите решить)) на пунктах не экономлю)3sin^2(x) - 14sinxcosx - 5cos^2(x) = 0

Answer 1

3sin^2(x)  - 14sinxcosx - 5cos^2(x) = 0       /:cos^2(x)

3tg^2(x)-14tg(x)-5=0

замена tg(x)=t, где t∈(-∞; +∞)

 

3t^2-14t-5=0

D=196+60=256

t=(14+16)/6=5

t=(14-16)/6=-1/3

обратная замена:

1) x=arctg5+pik, k∈Z

2) x=-arctg(1/3)+pik, k∈Z

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[3\sin^2(x) - 14\sin(x)\cos(x) - 5\cos^2(x) = 0.\]

Для удобства заметим, что у нас есть произведение \(\sin(x)\cos(x)\), и мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Заменим \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\) в уравнении:

\[3(1 - \cos^2(x)) - 14\sin(x)\cos(x) - 5\cos^2(x) = 0.\]

Раскроем скобки:

\[3 - 3\cos^2(x) - 14\sin(x)\cos(x) - 5\cos^2(x) = 0.\]

Объединим члены с \(\cos^2(x)\):

\[-8\cos^2(x) - 14\sin(x)\cos(x) + 3 = 0.\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[8\cos^2(x) + 14\sin(x)\cos(x) - 3 = 0.\]

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном случае \(a = 8\), \(b = 14\sin(x)\), и \(c = -3\). Подставим значения:

\[\cos(x) = \frac{-14\sin(x) \pm \sqrt{(14\sin(x))^2 - 4(8)(-3)}}{2(8)}.\]

Упростим выражение:

\[\cos(x) = \frac{-14\sin(x) \pm \sqrt{196\sin^2(x) + 96}}{16}.\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(\cos(x) = \frac{-14\sin(x) + \sqrt{196\sin^2(x) + 96}}{16}\)

2. \(\cos(x) = \frac{-14\sin(x) - \sqrt{196\sin^2(x) + 96}}{16}\)

В каждом из этих случаев мы можем решить для \(x\) используя тригонометрические соотношения и методы решения уравнений. К сожалению, решение в общем виде может быть довольно сложным, и требует использования тригонометрии.