Question

Решите уравнение по тригонометрии Не пойму 4 решений или 2 должно быть

Answer 1

$4cos^2(\frac{5\pi}{4}-x)=1\\\\cos^2(\frac{5\pi}{4}-x)=\frac{1}{4} \\\\cos^2 \alpha = \frac{1+cos2 \alpha }{2}\; \; \Rightarrow \; \; cos^2(\frac{5\pi}{4}-x)= \frac{1+cos(\frac{5\pi}{2}-2x)}{2} =\frac{1}{4} \\\\1+cos(\frac{5\pi}{2}-2x)=\frac{1}{2}$

$cos(\frac{5\pi}{2}-2x)=-\frac{1}{2}\; \; \Rightarrow \; \; sin2x=-\frac{1}{2}\\\\2x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{1}{2})+\pi k=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in Z\\\\x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\; ,k\in Z$

Если из уравнения  $cos^2(\frac{5\pi}{4}-x)=\frac{1}{4}$ получить при извлечении квадратного корня два случая:

  $cos(\frac{5\pi }{4}-x)=\pm \frac{1}{2}$  , то надо потом посмотреть, какие решения накладываются друг на друга , и отбросить ненужное. Поэтому всегда лучше пользоваться формулой понижения степени, которой мы уже воспользовались, заменив квадрат косинуса на дробь.

Answer 2

Чтобы решить уравнение по тригонометрии, нам нужно использовать тригонометрические идентичности и свойства тригонометрических функций.

Уравнение может иметь 2 или 4 решения, в зависимости от типа уравнения и диапазона значений, которые мы рассматриваем.

Например, рассмотрим уравнение sin(x) = 0.5.

Используя тригонометрическую идентичность sin(x) = sin(π - x), мы можем записать уравнение как sin(x) = sin(π/6).

Теперь мы можем использовать свойство равенства синусов: sin(x) = sin(y) тогда и только тогда, когда x = y + 2πk или x = π - y + 2πk, где k - целое число.

Применяя это свойство к нашему уравнению, мы получим два возможных решения: x = π/6 + 2πk и x = π - π/6 + 2πk.

Таким образом, уравнение sin(x) = 0.5 имеет 2 решения: x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.

В общем случае, уравнение по тригонометрии может иметь 2 или 4 решения, в зависимости от типа уравнения и диапазона значений, которые мы рассматриваем.