Question

Найдите наименьшее значение функции: а)p(t)=t^2-2t+1; б)s(t)=t^2+2t+2; в)y(x)=2x^2+8x+11.

Answer 1

А)
$p(t)=t^2-2t+1;\\ p_{min}-?;\\ p'(t)=2\cdot t^{2-1}-2\cdot t^{1-1}+0=2t-2=0;\\ t=1;\\ p'(t)<0,\ t\in-\infty;1);\\ p'(t)>0,\ t\in(1;+\infty);\\ p_{min}=p(1)=1-2+1=0;$


б)
$s(t)=t^2+2t+2;\\ s_{min}-?;\\ s'(t)=2\cdot t^{2-1}+2\cdot t^{1-1}+0=2t+2=0;\\ t=-1;\\ s'(t)<0,\ t\in(-\infty;-1);\\ s'(t)>0,\ t\in(-1;+\infty);\\ s_{min}=s(-1)=1-2+2=1;$


в)
$y(x)=2x^2+8x+11;\\ y_{min}-?;\\ y'(x)=2\cdot2\cdot x^{2-1}+8\cdot x^{1-1}+0=4x+8=0;\\ x=-2;\\ y'(x)<0,\ x\in(-\infty;-2);\\ y'(x)>0,\ t\in(-2;+\infty);\\ y_{min}=y(-2)=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+11=2\cdot4-16+11=\\ =8-16+11=11-8=3$




специально для 7 класса
а)
$p(t)=t^2-2t+1=t^2-2\cdot t\cdot1+1^2=\left(t-1\right)^2;\\ (t-1)^2\geq0;\\ p_{min}=0;$



б)
$> в) <img src=$

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции, мы должны найти точку минимума функции. Для этого нам нужно найти значение переменной, при котором производная функции равна нулю.

а) Функция p(t) = t^2 - 2t + 1

Для нахождения точки минимума этой функции, мы должны найти производную и приравнять ее к нулю:

p'(t) = 2t - 2

2t - 2 = 0

2t = 2

t = 1

Теперь, чтобы найти значение функции в точке минимума, мы подставляем найденное значение t обратно в исходную функцию:

p(1) = (1)^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0

Итак, наименьшее значение функции p(t) равно 0 и достигается при t = 1.

б) Функция s(t) = t^2 + 2t + 2

Аналогично, чтобы найти точку минимума этой функции, мы должны найти производную и приравнять ее к нулю:

s'(t) = 2t + 2

2t + 2 = 0

2t = -2

t = -1

Теперь подставим найденное значение t обратно в исходную функцию:

s(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1

Таким образом, наименьшее значение функции s(t) равно 1 и достигается при t = -1.

в) Функция y(x) = 2x^2 + 8x + 11

Для нахождения точки минимума этой функции, мы также найдем производную и приравняем ее к нулю:

y'(x) = 4x + 8

4x + 8 = 0

4x = -8

x = -2

Теперь подставим найденное значение x обратно в исходную функцию:

y(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 11 = 8 - 16 + 11 = 3

Итак, наименьшее значение функции y(x) равно 3 и достигается при x = -2.

Таким образом, наименьшие значения функций p(t), s(t) и y(x) равны 0, 1 и 3 соответственно.