Question

Sin^2x+4cos^2x при sin^2x=1\2

Answer 1

Sin²x+cos²x=1    ⇒    cos²x=1-sin²x=1-(1/2)=1/2

sin²x+4cos²x=(1/2)+4·(1/2)=(1/2)+2=2,5

Answer 2

Для начала, заметим, что в заданном уравнении присутствуют два различных тригонометрических выражения: sin^2(x) и cos^2(x).

Учитывая, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это тригонометрическое тождество), мы можем заменить sin^2(x) в заданном уравнении на (1 - cos^2(x)).

Таким образом, получим новое уравнение:

(1 - cos^2(x)) + 4cos^2(x) = 1/2

Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

1 - cos^2(x) + 4cos^2(x) = 1/2

Упростим уравнение:

-3cos^2(x) + 1 = 1/2

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

-3cos^2(x) + 1 - 1/2 = 0

-3cos^2(x) + 1/2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной cos(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Для начала, умножим все члены уравнения на -2, чтобы избавиться от дроби:

6cos^2(x) - 1 = 0

Теперь мы можем применить формулу для квадратного трехчлена:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 6, b = 0 и c = -1.

Подставим значения и решим:

cos(x) = (0 ± √(0^2 - 4 * 6 * -1)) / (2 * 6)

cos(x) = (0 ± √(0 + 24)) / 12

cos(x) = (0 ± √24) / 12

cos(x) = ± √6 / 6

Таким образом, мы получили два возможных значения для cos(x): √6 / 6 и -√6 / 6.

Теперь, чтобы найти значения для sin(x), мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Подставим значения cos(x) в это тождество:

sin^2(x) + (√6 / 6)^2 = 1

sin^2(x) + 6/36 = 1

sin^2(x) + 1/6 = 1

sin^2(x) = 1 - 1/6

sin^2(x) = 5/6

sin(x) = ± √(5/6)

Таким образом, мы получили два возможных значения для sin(x): √(5/6) и -√(5/6).

Итак, решение исходного уравнения sin^2(x) + 4cos^2(x) = 1/2 состоит из двух пар значений для sin(x) и cos(x): 1) sin(x) = √(5/6) и cos(x) = √6 / 6 2) sin(x) = -√(5/6) и cos(x) = -√6 / 6