Question

Вычислите а^4 + b^4 + c^4, зная что a+b+c=0 и a^2+b^2+c^2=1

Answer 1

a + b + c=0                  (1)
a^2 + b^2 + c^2=1         (2)
a^4 + b^4 + c^4 - ?

(a + b + c)^2=0^2
a^2 + b^2 + c^2 + 2 * (ab + ac + bc) = 0
из (2) получим:
2 * (ab + ac + bc) = -1
ab + ac + bc = -1/2

(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 1^2
(a^4 + b^4 + c^4) + 2 * (a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) = 1
a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2 * (a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2)              (3)
найдём (a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2):
ab + ac + bc = -1/2
(ab + ac + bc)^2 = 1/4
(a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) + 2 * (a^2*b*c + a*b^2*c + a*b*c^2) = 1/4
a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2 = 1/4 - 2 * abc * (a+b+c)
Зная (1):
a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2 = 1/4
Вернёмся к (3):
a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2 * 1/4 = 1 - 1/2 = 1/2

Answer 2

Для вычисления значения выражения a^4 + b^4 + c^4, используем известные условия:

1. a + b + c = 0 2. a^2 + b^2 + c^2 = 1

Мы можем использовать эти условия, чтобы получить значения a, b и c и затем вычислить их четвертые степени.

Решение:

1. Воспользуемся условием a + b + c = 0, чтобы выразить одну из переменных через остальные две: a + b + c = 0 c = -a - b

2. Подставим полученное значение c во второе условие a^2 + b^2 + c^2 = 1: a^2 + b^2 + (-a - b)^2 = 1 a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 1 2a^2 + 2b^2 + 2ab = 1 a^2 + b^2 + ab = 1/2

3. Выразим переменную b через a: b = (1/2 - a^2 - ab) / (1 + a)

4. Подставим полученное значение b в условие a + b + c = 0: a + (1/2 - a^2 - ab) / (1 + a) - a - (1/2 - a^2 - ab) / (1 + a) = 0

5. Решим полученное уравнение относительно a: a + (1/2 - a^2 - ab) - a(1 + a) - (1/2 - a^2 - ab) = 0 a + 1/2 - a^2 - ab - a - a^2 - a^3 - 1/2 + a^2 + ab = 0 -a^3 - a^2 + a^2 - a^2 + a + ab + ab = 0 -a^3 - a^2 + 2ab = 0

6. Подставим полученное значение a в условие b = (1/2 - a^2 - ab) / (1 + a), чтобы найти значение b.

7. Подставим полученные значения a и b в условие c = -a - b, чтобы найти значение c.

8. Теперь, когда у нас есть значения a, b и c, мы можем вычислить a^4 + b^4 + c^4.

Я могу предоставить код на Python, который поможет найти значения a, b, c и вычислить a^4 + b^4 + c^4. Вам это подойдет?