Question

Пожалуйста помогите нужно решение: интеграл(3x^2-2/x^3)dx

Answer 1

∫(3x²-2/x³)dx=∫3x²dx-∫(2/x³)dx=3*∫x²dx-2*∫x⁻³dx=
=3*(x³/3)-2*(-x⁻²/2)=x³+x⁻²=x³+1/x²+C.

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям и метод подстановки. Давайте начнем с интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям

Для интегрирования по частям, мы используем следующую формулу:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать u = 1/x^3 и dv = (3x^2 - 2)dx.

Вычислим du и v:

du = d(1/x^3) = -3/x^4 * dx

v = ∫ (3x^2 - 2)dx = x^3 - 2x

Теперь, мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ (3x^2 - 2/x^3)dx = u * v - ∫ v * du

∫ (3x^2 - 2/x^3)dx = (1/x^3) * (x^3 - 2x) - ∫ (x^3 - 2x) * (-3/x^4) dx

Упростим это выражение:

∫ (3x^2 - 2/x^3)dx = (1/x^3) * (x^3 - 2x) + 3 * ∫ (x^3 - 2x) / x^4 dx

∫ (3x^2 - 2/x^3)dx = x^3/x^3 - 2x/x^3 + 3 * ∫ (x^3 / x^4 - 2x / x^4) dx

∫ (3x^2 - 2/x^3)dx = 1 - 2/x^2 + 3 * ∫ (1/x - 2/x^3) dx

Метод подстановки

Теперь, мы можем использовать метод подстановки для решения последнего интеграла.

Для этого, давайте введем новую переменную замены u = 1/x:

du = -1/x^2 dx

dx = -du/u^2

Подставим это в интеграл:

3 * ∫ (1/x - 2/x^3) dx = 3 * ∫ (1/u + 2/u^3) (-du/u^2)

= -3 * ∫ (1/u^3 + 2/u^5) du

= -3 * (-1/2u^2 - 1/u^4) + C

= 3/(2u^2) + 3/u^4 + C

Теперь, мы должны вернуться к исходной переменной x:

= 3/(2(1/x)^2) + 3/(1/x)^4 + C

= 3/(2/x^2) + 3/x^4 + C

= 3x^2/2 + 3/x^4 + C

Итак, решение данного интеграла равно:

∫ (3x^2 - 2/x^3)dx = 1 - 2/x^2 + 3x^2/2 + 3/x^4 + C

где C - произвольная постоянная.