Question

Найдите точку минимума функции y=log5(x^2-30x+249)+8

Answer 1

$y=\log_5(x^2-30x+249)+8. \\ x^2-30x+249\ \textgreater \ 0, \\ D_{/4}=(-15)^2-249=225-249=-24\ \textless \ 0, \\ a=1\ \textgreater \ 0, \ D\ \textless \ 0, \ x^2-30x+249\ \textgreater \ 0 \ \forall x\in R, \\ D_y=R. \\ y'=\frac{1}{(x^2-30x+249)\ln5}\cdot(2x-30+0)+0=\frac{2x-30}{(x^2-30x+249)\ln5}. \\ \left [ {{2x-30=0,} \atop {x^2-30x+249=0,}} \right. \ \left [ {{x=15,} \atop {x\in \varnothing;}} \right. \\ x=15, \\ \begin{array}{c|ccc}x&(-\infty;15)&15&(15;+\infty)\\y'&-&0&+\\y&\searrow&\min&\nearrow\end{array} \\ x_{min}=15, \ y_{min}=\log_5(15^2-30\cdot15+249)+8=\log_524+8\approx10.$

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции \( y = \log_5(x^2 - 30x + 249) + 8 \) мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для начала найдем производную этой функции, а затем решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти точку, в которой функция достигает минимума.

Нахождение производной функции

Чтобы найти производную функции \( y = \log_5(x^2 - 30x + 249) + 8 \), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепного правила). Первым шагом найдем производную внутренней функции \( x^2 - 30x + 249 \):

1. Найдем производную внутренней функции \( u = x^2 - 30x + 249 \): \[ \frac{du}{dx} = 2x - 30 \]

Теперь найдем производную внешней функции \( y = \log_5(u) \):

2. Найдем производную внешней функции \( y = \log_5(u) \): \[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln(5)} \] По цепному правилу, учитывая, что \( u = x^2 - 30x + 249 \), производная функции \( y \) по \( x \) будет: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 - 30x + 249} \cdot (2x - 30) \cdot \frac{1}{\ln(5)} \]

Нахождение точки минимума

Теперь, чтобы найти точку минимума функции, мы приравняем производную к нулю и найдем соответствующее значение \( x \). Затем мы найдем соответствующее значение \( y \) используя исходную функцию.

\[ \frac{1}{x^2 - 30x + 249} \cdot (2x - 30) \cdot \frac{1}{\ln(5)} = 0 \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \( x \), в котором функция достигает минимума. Подставив найденное значение \( x \) в исходную функцию, мы сможем найти соответствующее значение \( y \) и, таким образом, точку минимума.

Дайте мне знать, если вам нужен пример кода для вычисления этой функции или если у вас есть другие вопросы по этой теме!