Question

Найти наименьшие значение функции с помощью производной y=(2x-23)^2*(4-x)+5 на промежутке [ 0; 14)

Answer 1

Находим производную:

$y=(2x-23)^{2}(4-x)+5\\ y'= ((2x-23)^{2})'(4-x)+(2x-23)^{2}(4-x)'=\\=2 \cdot (2x-23)(2x-23)'(4-x) -(2x-23)^{2}= \\ =4(2x-23)(4-x)-(2x-23)^{2}$

Упростим.

$4(2x-23)(4-x)-(2x-23)^{2}= (2x-23)(4(4-x)-2x+23)=\\= (2x-23)(39-6x)$

Найдем периоды возрастания и убывания:

$(2x-23)(39-6x)>0\\ 1) \left \{ {{2x-23>0} \atop {39-6x>0}} \right.\\ \left \{ {{x>11,5} \atop {x<6,5}} \right.\\ 2) \left \{ {{2x-23<0} \atop {39-6x<0}} \right.\\ \left \{ {{x<11,5} \atop {x>6,5}} \right.\\ 6,5<x<11,5$

На промежутке от 6,5 до 11,5 функция возрастает, на остальном она убывает. Имеем две точки экстремума:

6,5 - точка минимума

11,5 -  точка максимума.

У нас пулучается, что функция примет свое наименьшее значение в точке минимума, то есть в точке 6,5. Подставляем в функцию:

$y=(2x-23)^{2}(4-x)+5 = (2\cdot 6,5-23)^{2}(4-6,5)+5 = -245$

 

График для наглядности.

 

З.Ы. Здесь небольшой подвох есть. В точке х =14, у тоже будет равен -245. Поскольку, в рассматриваемом промежутке [0; 14), точка 14 не включена, то тогда мы не берем ее в расмотрение.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном промежутке с помощью производной, следует выполнить несколько шагов. Давайте начнем с вычисления производной функции y=(2x-23)^2*(4-x)+5, затем найдем ее критические точки, и, наконец, определим, являются ли эти точки минимумами или максимумами.

Вычисление производной функции

Для начала найдем производную функции y по x. Используем правила дифференцирования для нахождения производной сложной функции:

y = (2x-23)^2*(4-x)+5

Теперь вычислим производную:

dy/dx = (2*(2x-23)*(4-x) + (2x-23)^2*(-1)) = 2*(2x-23)*(4-x) + (2x-23)^2*(-1)

Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек производной приравняем ее к нулю и решим уравнение:

2*(2x-23)*(4-x) + (2x-23)^2*(-1) = 0

После нахождения корней уравнения, мы получим критические точки функции.

Определение минимума или максимума

Для определения, являются ли найденные критические точки минимумами или максимумами, можно использовать вторую производную или тест знаков. Если вторая производная положительна в критической точке, то это минимум, если отрицательна, то максимум. Если же вторая производная равна нулю или не существует, то нужно использовать тест знаков.

После завершения этих шагов, мы сможем найти наименьшее значение функции на заданном промежутке [0, 14). Если вам нужно подробнее разобрать какой-либо из этих шагов, пожалуйста, дайте мне знать.