Question

Lim x стремится к бесконечности ( 3x+2/3x+1)в степени 6x-4

Answer 1

Замечательный предел:
$lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$


$lim_{x\to\infty}(\frac{3x+2}{3x+1})^{6x-4}=lim_{x\to\infty}(\frac{3x+1+1}{3x+1})^{6x-4}=\\=lim_{x\to\infty}(\frac{3x+1}{3x+1}+\frac{1}{3x+1})^{6x-4}=lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{3x+1})^{6x-4}=\\=lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{3x+1})^{\frac{3x+1}{3x+1}*(6x-4)}=lim_{x\to\infty}((1+\frac{1}{3x+1})^{3x+1})^{\frac{6x-4}{3x+1}}=\\=lim_{x\to\infty}e^{\frac{6x-4}{3x+1}}=e^{lim_{x\to\infty}\frac{6x(1-\frac{4}{6x})}{3x(1+\frac{1}{3x})}}=e^{\frac{6(1-0)}{3(1+0)}}=e^2$

надеюсь понятно

Answer 2

Чтобы рассмотреть предел функции, данной в вопросе, давайте разобьем его на несколько шагов и применим соответствующие правила вычисления пределов.

Шаг 1: Упрощение выражения

Первым шагом упростим выражение в пределе. Для этого раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Lim(x → ∞) ((3x + 2) / (3x + 1))^(6x - 4)

Шаг 2: Разложение в степенной ряд

Чтобы упростить выражение еще больше и вычислить его предел, воспользуемся разложением в степенной ряд. Заметим, что степень (6x - 4) увеличивается с ростом x, поэтому мы можем представить данное выражение в виде:

Lim(x → ∞) ((3x + 2) / (3x + 1)) * ((3x + 2) / (3x + 1)) * ((3x + 2) / (3x + 1)) * ... * ((3x + 2) / (3x + 1))

где каждый множитель равен ((3x + 2) / (3x + 1)).

Шаг 3: Вычисление предела

Теперь, когда мы имеем выражение в виде произведения, мы можем вычислить его предел. Заметим, что каждый множитель ((3x + 2) / (3x + 1)) стремится к 1 при x → ∞. Это можно видеть, если мы рассмотрим предел каждого множителя отдельно:

Lim(x → ∞) ((3x + 2) / (3x + 1)) = 1

Поскольку каждый множитель стремится к 1, произведение также будет стремиться к 1:

Lim(x → ∞) ((3x + 2) / (3x + 1)) * ((3x + 2) / (3x + 1)) * ((3x + 2) / (3x + 1)) * ... * ((3x + 2) / (3x + 1)) = 1 * 1 * 1 * ... * 1 = 1

Таким образом, предел данной функции равен 1 при x → ∞.

Результат

Lim(x → ∞) ((3x + 2) / (3x + 1))^(6x - 4) = 1 при x → ∞.