Question

Найти призводную у=1-sin x / 1+sin x вычислить у(П/4)

Answer 1

$y`= (\frac{1-sin x}{1+sinx})`= \frac{(1-sinx)`\cdot (1+sinx)-(1-sinx)(1+sinx)`}{(1+sinx)^{2} } = \\ = \frac{(-cosx)\cdot (1+sinx)-(1-sinx)(cosx)}{(1+sinx)^{2} } = \\= \frac{-cosx-cosx\cdot sinx-cosx+sinx\cdot cosx}{(1+sinx)^{2} } = \\= \frac{-2cosx}{(1+sinx) ^{2} }$

$y( \frac{ \pi }{4})= \frac{1-sin \frac{ \pi }{4} }{1+sin \frac{ \pi }{4} }=\frac{1- \frac{ \sqrt{2} }{2} }{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }= \frac{2- \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} }$

Answer 2

Для того, чтобы найти производную функции y = 1 - sin x / 1 + sin x, нужно воспользоваться правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования синуса. Пошаговое решение выглядит так:

y' = (u'v - uv') / v^2, где u = 1 - sin x, v = 1 + sin x

u' = -cos x, v' = cos x

y' = (-cos x * (1 + sin x) - (1 - sin x) * cos x) / (1 + sin x)^2

y' = (-cos x - cos x * sin x - cos x + cos x * sin x) / (1 + sin x)^2

y' = -2cos x / (1 + sin x)^2

Чтобы вычислить y(П/4), нужно подставить x = П/4 в исходную функцию и получить:

y(П/4) = (1 - sin (П/4)) / (1 + sin (П/4))

y(П/4) = (1 - √2/2) / (1 + √2/2)

y(П/4) = (√2 - 2) / (√2 + 2)

y(П/4) = (√2 - 2) * (√2 - 2) / (√2 + 2) * (√2 - 2)

y(П/4) = (2 - 2√2 + 2) / (2 - 2)

y(П/4) = (4 - 2√2) / 0

y(П/4) = не определено

Ответ: производная функции y = -2cos x / (1 + sin x)^2, значение функции при x = П/4 не определено.