Question

Найдите наибольшее значение функции y=(x^2+121)/x на отрезке [-20;-1]

Answer 1

Для нахождения наибольшего значения функции y=(x^2+121)/x на отрезке [-20;-1], нужно найти точку, в которой функция достигает максимума. Для этого воспользуемся производной функции и методом экстремумов.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y=(x^2+121)/x. Для этого применим правило дифференцирования для функций вида u/v, где u и v являются функциями x.

У нас есть функция y=(x^2+121)/x. Чтобы найти производную, воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

(dy/dx) = (u'v - uv')/v^2,

где u = x^2 + 121, v = x.

Вычислим производную функции: (dy/dx) = ((2x)x - (x^2 + 121))/x^2, (dy/dx) = (2x^2 - x^2 - 121)/x^2, (dy/dx) = (x^2 - 121)/x^2.

Нахождение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение (x^2 - 121)/x^2 = 0.

(x^2 - 121)/x^2 = 0, x^2 - 121 = 0, x^2 = 121, x = ±√121, x = ±11.

Таким образом, получаем две критические точки: x = -11 и x = 11.

Определение максимума

Теперь, чтобы определить, где функция достигает максимума, нужно проанализировать поведение функции в окрестности критических точек.

Подставим значения x = -20, -11, -1 и 11 в исходную функцию y=(x^2+121)/x:

При x = -20, y = (-20^2 + 121)/-20 = (400 + 121)/-20 = -521/20, При x = -11, y = (-11^2 + 121)/-11 = (121 + 121)/-11 = -242/11, При x = -1, y = (-1^2 + 121)/-1 = (1 + 121)/-1 = -122, При x = 11, y = (11^2 + 121)/11 = (121 + 121)/11 = 22.

Таким образом, на отрезке [-20;-1] функция принимает наибольшее значение y = -122 при x = -1.

Ответ

Наибольшее значение функции y=(x^2+121)/x на отрезке [-20;-1] равно -122 и достигается при x = -1.