Question

Показать,что функция F (x) является первообразной для функции f (x) на всей числовой прямой: 1)F (x)=1-e^-x, f(x)=e^-x2) F (x)=3e^x/3 , f (x)=e ^x/33)F (x)=cos3x-5 ,f (x)=-3 sin 3x

Answer 1

По определению:
F`(x)=f(x) при х>0

1)F`(x)=(1-e⁻ˣ)=(1)`-(e⁻ˣ)`=0-e⁻ˣ·(-x)`=e⁻ˣ=f(x)
2)F`(x)=(3eˣ/³)=3·(eˣ/³)`=3·(eˣ/³)·(x/3)`=3·(eˣ/³)·(1/3)=eˣ/³=f(x)
3)F`(x)=(cos3x-5)`=(cos3x)`-(5)`=(-sin3x)·(3x)`-0=(-sin3x)·3=-3sin3x=f(x)

Answer 2

Определение первообразной

Первообразная функции f(x) определяется как функция F(x), производная которой равна f(x). Математически это можно записать как:

F'(x) = f(x)

То есть, первообразная функции f(x) является решением дифференциального уравнения F'(x) = f(x).

Проверка первообразной для функции f(x) = e^(-x)

Для первого примера, даны функции:

F(x) = 1 - e^(-x) f(x) = e^(-x)

Для проверки, нужно продифференцировать F(x) и убедиться, что получим f(x):

F'(x) = d/dx (1 - e^(-x)) = 0 - (-e^(-x)) = e^(-x)

Таким образом, F(x) = 1 - e^(-x) является первообразной для f(x) = e^(-x) на всей числовой прямой.

Проверка первообразной для функции f(x) = e^x/3

Для второго примера, даны функции:

F(x) = 3e^x/3 f(x) = e^x/3

Проверим, продифференцировав F(x):

F'(x) = d/dx (3e^x/3) = 3e^x/3 = e^x/3

Таким образом, F(x) = 3e^x/3 является первообразной для f(x) = e^x/3 на всей числовой прямой.

Проверка первообразной для функции f(x) = cos(3x) - 5

Для третьего примера, даны функции:

F(x) = cos(3x) - 5 f(x) = -3sin(3x)

Проверим, продифференцировав F(x):

F'(x) = d/dx (cos(3x) - 5) = -3sin(3x)

Таким образом, F(x) = cos(3x) - 5 является первообразной для f(x) = -3sin(3x) на всей числовой прямой.

Вывод

Все три представленные функции F(x) являются первообразными для соответствующих функций f(x) на всей числовой прямой.