Question

Укажите уравнение касательной к графику функции f(x)=sinx+cosx в точке с абсциссой x0=0

Answer 1

Уравнение касательной в точке x0: y=f(x0)+f '(x0)(x-x0)
f '(x) = cosx - sinx, f '(0)=1-0=1, f (0) = 0+1=1,
y=1+1*(x-0), y=x.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) в точке с абсциссой \( x_0 = 0 \), мы можем воспользоваться производной функции. Уравнение касательной к графику функции в точке можно найти, используя производную функции в данной точке.

Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \). Для этого вычислим производные от составляющих функции \( \sin(x) \) и \( \cos(x) \), а затем сложим их:

1. \( \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \) 2. \( \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) \)

Теперь сложим полученные производные: \[ f'(x) = \cos(x) - \sin(x) \]

Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой \( x_0 \) можно найти, используя следующее уравнение:

\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]

где \( f(x_0) \) - значение функции в точке \( x_0 \), а \( f'(x_0) \) - значение производной функции в точке \( x_0 \).

Подстановка значений

Теперь подставим значение функции \( f(x) \) и производной \( f'(x) \) в уравнение касательной, используя \( x_0 = 0 \): \[ y - (f(0)) = f'(0)(x - 0) \]

Так как \( f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \) и \( f'(0) = \cos(0) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \), то уравнение касательной примет вид: \[ y - 1 = x \]

Ответ: Уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) в точке с абсциссой \( x_0 = 0 \) равно \( y - 1 = x \).