Question

Производная неявно-заданнрй функции y^2-2cosy=cosx-x^x+2tgx-1+ln|y|-3y^y

Answer 1

Положим $f(x)=y^2-2\cos y-\cos x+x^x-2tg x+1-\ln y+3y^y$

        $\dfrac{\partial f}{\partial x} =x^x(\ln x+1)+\sin x-2tg^2x-2$

        $\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y+3y^y(\ln y+1)+2\sin y- \frac{1}{y}$

Подставив эти частные производные в след. производную, получим

       $\dfrac{\partial y}{\partial x} =- \dfrac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial y} } =- \dfrac{y(x^x(\ln x+1)+\sin x-2tg^2 x-2)}{y(2y+3y^y(\ln y+1)+2\sin y)-1}$

Answer 2

Чтобы найти производную неявно заданной функции, нам понадобится применить правило дифференцирования функций, включающих неизвестные переменные. Давайте найдем производную функции, которая задана неявно:

Шаг 1: Запишем заданное уравнение: y^2 - 2cos(y) = cos(x) - x^2 + 2tan(x) - 1 + ln|y| - 3y^y

Шаг 2: Продифференцируем обе части уравнения по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правило дифференцирования по цепочке).

Давайте начнем с левой части уравнения:

d/dx (y^2 - 2cos(y)) = d/dx(cos(x) - x^2 + 2tan(x) - 1 + ln|y| - 3y^y)

Шаг 3: Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности.

Для первого слагаемого y^2, используем правило дифференцирования степенной функции:

d/dx (y^2) = 2y * dy/dx

Для второго слагаемого -2cos(y), используем правило дифференцирования косинуса:

d/dx (-2cos(y)) = 2sin(y) * dy/dx

Для остальных слагаемых (cos(x) - x^2 + 2tan(x) - 1 + ln|y| - 3y^y) мы дифференцируем каждое по x, поскольку они не содержат y.

Шаг 4: Объединим все полученные выражения и выразим dy/dx:

2y * dy/dx + 2sin(y) * dy/dx = -sin(x) - 2x + 2sec^2(x) + 3y^y * (ln(y) + 1) * dy/dx

Шаг 5: Выразим dy/dx:

dy/dx * (2y + 2sin(y) - 3y^y * (ln(y) + 1)) = -sin(x) - 2x + 2sec^2(x)

dy/dx = (-sin(x) - 2x + 2sec^2(x)) / (2y + 2sin(y) - 3y^y * (ln(y) + 1))

Это выражение представляет собой производную неявно заданной функции от x по y. Если вам нужно найти производную от y по x, вы можете взять обратную величину этого выражения.

Помните, что полученное выражение может быть сложным и может потребоваться дальнейшее упрощение или аппроксимация для конкретных значений переменных.