Question

Решите уравнение (x^2-3x)^2- 2(x^2-3x)-8=0

Answer 1

$(x^{2}-3x)^{2}-2(x^{2}-3x)-8=0\\ x^{2}-3x=t\\ t^{2}-2t-8=0\\ t_{1}+t_{2}=2\\ t_{1}t_{2}=-8\\ t_{1}=4\\ t_{2}=-2\\ x^{2}-3x=4\\ x^{2}-3x-4=0\\ x_{1}=-1\\ x_{2}=4\\ x^{2}-3x=-2\\ x^{2}-3x+2=0\\ x_{1}=1\\ x_{2}=2$

Таким образом, уравнение имеет 4 корня: -1, 1, 2, 4.
Ответ: -1, 1, 2, 4.

Answer 2

Давайте решим это уравнение по шагам.

1. Дано уравнение: $(x^2-3x)^2 + 2(x^2-3x) - 8 = 0$.

2. Давайте введем замену переменной. Обозначим $y = x^2 - 3x$. Тогда уравнение примет вид $y^2 + 2y - 8 = 0$.

3. Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать факторизацию или квадратное уравнение. В данном случае, уравнение можно факторизовать следующим образом: $(y + 4)(y - 2) = 0$.

4. Разложение на множители дает два возможных значения $y$: $y + 4 = 0$ или $y - 2 = 0$.

- Первый случай: $y + 4 = 0$. Решим это уравнение: $y = -4$. Вернемся к замене переменной: $x^2 - 3x = -4$. Теперь решим это уравнение. $x^2 - 3x + 4 = 0$. Это квадратное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому его решение будет в виде комплексных чисел. Можно воспользоваться формулой квадратного корня $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a = 1$, $b = -3$, $c = 4$. Подставим эти значения в формулу: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2}$ $x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$ Так как $\sqrt{-7}$ является комплексным числом, решение этого уравнения будет в виде комплексных чисел. Корни можно представить в виде $x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$, где $i$ - мнимая единица. - Второй случай: $y - 2 = 0$. Решим это уравнение: $y = 2$. Вернемся к замене переменной: $x^2 - 3x = 2$. Теперь решим это уравнение. $x^2 - 3x - 2 = 0$. Можно использовать формулу квадратного корня: $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}$ $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ Получаем два рациональных корня: $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ и $x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Итак, уравнение $(x^2-3x)^2 + 2(x^2-3x) - 8 = 0$ имеет три корня: $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$, $x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$, и $x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$, где $i$ - мнимая единица.