Question

ПОМОГИТЕ решить тригонометрические уравнения: 2sin^2x+sinx-1=0 ; 6cos^2x+cosx-1=0 ; 2cos^2x+sinx+1=0

Answer 1

1) Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
2t^2+t-1=0
t1=(-1-3)/4=-1
t2=(-1+3)/4=1/2
Вернёмся к замене
sinx=-1
x=-Π/2+2Πn, n€Z
sinx=1/2
x1=Π/6+2Πm, m€Z
x2=5Π/6+2Πm, m€Z
Ответ: -Π/2+2Πn, n€Z; Π/6+2Πm, 5Π/6+2Πm, m€Z
2) 6cos^2x+cosx-1=0
Пусть t=cosx, где t€[-1;1], тогда
6t^2+t-1=0
t1=(-1-5)/12=-1/2
t2=(-1+5)/12=1/3
Вернёмся к замене:
cosx=-1/2
x=+-arccos(-1/2)+2Πn, n€Z
cosx=1/3
x=+-arccos(1/3)+2Πm, m€Z
Ответ: +-arccos(-1/2)+2Πn, n€Z; +-arccos(1/3)+2Πm, m€Z
3) 2cos^2x+sinx+1=0
2(1-sin^2x)+sinx+1=0
-2sin^2x+sinx+3=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
-2t^2+t+3=0
t1=(-1-5)/-4=-1,5 посторонний, т.к. t€[-1;1]
t2=(-1+5)/-4=-1
Вернёмся к замене
sinx=-1
x=Π/2+2Πn, n€Z
Ответ: Π/2+2Πn, n€Z

Answer 2

Решение тригонометрических уравнений

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем их решения.

Уравнение 1: 2sin^2x + sinx - 1 = 0

Для начала, представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно sin(x):

2sin^2x + sinx - 1 = 0

Для удобства введем замену: t = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

2t^2 + t - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac где a = 2, b = 1, c = -1

D = 1 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9

Так как D > 0, у уравнения есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3) / 4 = 1 t2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3) / 4 = -1.5

Теперь найдем значения sin(x) для t1 и t2:

1. Для t1 = 1: sin(x) = 1 2. Для t2 = -1.5: так как -1 <= sin(x) <= 1, у нас нет решения в области действительных чисел.

Таким образом, уравнение 2sin^2x + sinx - 1 = 0 имеет единственное решение: sin(x) = 1

Уравнение 2: 6cos^2x + cosx - 1 = 0

Аналогично представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно cos(x):

6cos^2x + cosx - 1 = 0

Введем замену: t = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

6t^2 + t - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 1 - 4*6*(-1) = 1 + 24 = 25

Так как D > 0, у уравнения есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 5) / 12 = 2/3 t2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 5) / 12 = -1

Теперь найдем значения cos(x) для t1 и t2:

1. Для t1 = 2/3: так как -1 <= cos(x) <= 1, у нас есть решение в области действительных чисел. 2. Для t2 = -1: так как -1 <= cos(x) <= 1, у нас есть решение в области действительных чисел.

Таким образом, уравнение 6cos^2x + cosx - 1 = 0 имеет два решения: cos(x) = 2/3 cos(x) = -1

Уравнение 3: 2cos^2x + sinx + 1 = 0

Это уравнение является нелинейным и не может быть преобразовано в квадратное уравнение относительно sin(x) или cos(x). Решим его методом подбора или с использованием численных методов.

Подставив различные значения для x, мы можем найти решения этого уравнения. Также, можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона, для приближенного нахождения решений.

Общий вывод

Таким образом, у нас есть решения для первых двух уравнений, а для трет