Question

Прошу вас решить пример из темы : Логарифмические уравнения log0.2 ( x^3+5x^2+6x+1) = log0.2 (-x^3+2x^2+3x)

Answer 1

ОДЗ:$\left \{ {{x^3+5x^2+6x+1>0} \atop {-x^3+2x^2+3x>0}} \right.$
       Решать не будем, так как сложная система
Решим уравнение и сделаем проверку.
$log_{0.2}( x^3+5x^2+6x+1) = log_{0.2}(-x^3+2x^2+3x) \\ x^3+5x^2+6x+1= -x^3+2x^2+3x \\ 2x^3+3x^2+3x+1=0$
(2x+1)(x²+x+1)=0
2x+1=0           или      х²+х+1=0
х=-1/2                          D=1-4<0- уравнение не имеет корней
Проверка удовлетворения найденного значения х=-1/2 системе, задающей ОДЗ
$\left \{ {{(- \frac{1}{2})^3+5(- \frac{1}{2}) ^2+6(- \frac{1}{2})+1>0} \atop {-(- \frac{1}{2})^3+2(- \frac{1}{2})^2+3(- \frac{1}{2})>0}} \right.\Rightarrow\left \{ {{(- \frac{1}{8})+5(\frac{1}{4})-6( \frac{1}{2})+1>0} \atop { \frac{1}{8}+2\cdot \frac{1}{4}- \frac{3}{2}>0}} \right.$
оба неравенства неверны.х=-1/2 не является корнем уравнения
Ответ. нет корней

Answer 2

Для решения данного логарифмического уравнения, мы будем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Основная идея состоит в том, чтобы привести уравнение к виду, где обе части равны между собой.

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Используя свойства логарифмов, мы можем сократить логарифмы и записать уравнение в следующем виде:

log0.2(x^3 + 5x^2 + 6x + 1) = log0.2(-x^3 + 2x^2 + 3x)

Шаг 2: Применение свойства логарифма равенства

Так как логарифмы по обеим сторонам равны, то аргументы логарифмов также должны быть равны. Мы можем записать уравнение без логарифмов:

x^3 + 5x^2 + 6x + 1 = -x^3 + 2x^2 + 3x

Шаг 3: Упрощение уравнения

Теперь мы можем объединить подобные слагаемые и привести уравнение к квадратному виду:

2x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Мы можем попытаться решить это уравнение с помощью факторизации или применить формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Однако, данное уравнение является кубическим, а не квадратным, поэтому мы должны использовать другие методы для его решения.

Шаг 5: Применение численных методов

Для решения кубического уравнения мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод деления отрезка пополам. Однако, в данном случае, проще воспользоваться графическим методом для нахождения приближенных значений корней.

Графическое решение

Мы можем построить график функции y = 2x^3 + 3x^2 + 3x + 1 и найти приближенные значения корней, где график пересекает ось x.


Из графика видно, что уравнение имеет три корня: один в отрицательной области, один близко к нулю и один в положительной области.

Приближенные значения корней:

- Корень в отрицательной области: около -1.2 - Корень близко к нулю: около -0.3 - Корень в положительной области: около -0.6

Обратите внимание, что эти значения являются приближенными и могут быть округлены до нужной точности.

Таким образом, решение логарифмического уравнения log0.2(x^3 + 5x^2 + 6x + 1) = log0.2(-x^3 + 2x^2 + 3x) состоит из трех корней: примерно -1.2, -0.3 и -0.6.