Question

Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.

Answer 1

{$b_{n}$} - геометрическая прогрессия

$\left \{ {{b_1+b_4=27} \atop {b_2+b_3=18}} \right.$

$\left \{ {{b_1+b_1*q^3=27} \atop {b_1*q+b_1*q^2=18}} \right.$

$\left \{ {{b_1(1+q^3)=27} \atop {b_1*q(1+q)=18}} \right.$

$\left \{ {{b_1(1+q)(1-q+q^2)=27} \atop {b_1*q(1+q)=18}} \right.$

$\left \{ {{ \frac{18}{q} (1-q+q^2)=27} \atop {b_1(1+q)= \frac{18}{q} }} \right.$

$\left \{ {{{18} (1-q+q^2)=27q} \atop {b_1(1+q)= \frac{18}{q} }} \right.$

$\left \{ {{{18q^2-18q+18-27q=0 \atop {b_1(1+q)= \frac{18}{q} }} \right.$

$\left \{ {{{18q^2-45q+18=0 \atop {b_1(1+q)= \frac{18}{q} }} \right.$

$\left \{ {{{2q^2-9q+2=0 \atop {b_1(1+q)= \frac{18}{q} }} \right.$

${{{2q^2-9q+2=0$

$D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9$

$q_1= \frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$

$q_2= \frac{5+3}{4}=2$

$\left \{ {{{q_1= \frac{1}{2} \atop {b_1= \frac{27}{1+( \frac{1}{2})^3} }} \right.$   или   $\left \{ {{{q_2= 2 \atop {b'_1= \frac{27}{1+2^3} }} \right.$

$\left \{ {{{q_1= \frac{1}{2} \atop {b_1=24 }} \right.$  или   $\left \{ {{{q_2= 2 \atop {b'_1=3 }} \right.$

Ответ: $q= \frac{1}{2}$  и   $b_1=24$
            $q=2$  и   $b'_1=3$

Answer 2

Дано, что сумма первого и четвёртого членов геометрической прогрессии равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулы для суммы членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии, где a - первый член, r - знаменатель, и n - количество членов, выглядит следующим образом:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Здесь S_n обозначает сумму первых n членов геометрической прогрессии.

Мы знаем, что сумма первого и четвёртого членов равна 27:

a + ar^3 = 27 (1)

Также, сумма второго и третьего членов равна 18:

ar + ar^2 = 18 (2)

Мы можем использовать эти два уравнения для нахождения первого члена (a) и знаменателя (r) геометрической прогрессии.

Чтобы решить эту систему уравнений, давайте сначала разделим уравнение (1) на уравнение (2):

(a + ar^3) / (ar + ar^2) = 27 / 18

После упрощения получаем:

(a + ar^3) / (ar(1 + r)) = 3/2

Теперь давайте упростим левую часть уравнения:

(a + ar^3) = (3/2)(ar)(1 + r)

(a + ar^3) = (3/2)ar + (3/2)ar^2

(a + ar^3) - (3/2)ar - (3/2)ar^2 = 0

Теперь давайте факторизуем это уравнение:

a(1 - (3/2)r - (3/2)r^2) + ar^3 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем разделить его на a и получить два уравнения:

1 - (3/2)r - (3/2)r^2 + r^3 = 0 (3)

r^3 - (3/2)r^2 - (3/2)r + 1 = 0 (4)

Теперь мы можем решить это кубическое уравнение для нахождения значения знаменателя (r). Решение этого уравнения может быть сложным аналитически, но мы можем воспользоваться численными методами или графическим методом для приближенного нахождения значения r.

Примечание: Я могу помочь вам с численным решением или графическим методом, если вы предоставите значения первого и второго членов геометрической прогрессии.