Question

Sinx+sin3x=2sin2x решите уравнение и с объяснением если можно))

Answer 1

Сначала распишем формулу синуса двойного угла
sinx+sin3x=2*(2sinxcosx)
sinx+sin3x=4sinxcosx
sin3x=4sinxcosx-sinx
распишем синус тройного угла
3sinx-4sin^3x+sinx =4sinxcosx
4sinx-4sin^3x=4sinxcosx
4sinx(1-sin^2x)=4sinxcosx
разделим обе части на 4sinx
1-sin^2x=cosx
cos^2x=cosx
cosx=1
x=2Пиn

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) * sin(3x) = 2 * sin(2x), мы можем использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений.

Первый шаг: Приведение к одной функции

Для начала, давайте приведем все тригонометрические функции к одной функции, например, sin(x).

Используя тождество sin(3x) = 3 * sin(x) - 4 * sin^3(x) мы можем переписать уравнение следующим образом:

sin(x) * (3 * sin(x) - 4 * sin^3(x)) = 2 * sin(2x)

Второй шаг: Приведение к квадратному уравнению

Теперь, давайте приведем уравнение к квадратному уравнению, заменив sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

sin(x) * (3 * sin(x) - 4 * (1 - cos^2(x)) * sin(x)) = 2 * sin(2x)

Третий шаг: Упрощение и приведение к квадратному уравнению

Упростим уравнение, раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые:

3 * sin^2(x) - 4 * (1 - cos^2(x)) * sin^2(x) = 2 * sin(2x)

3 * sin^2(x) - 4 * (sin^2(x) - cos^2(x)) * sin^2(x) = 2 * sin(2x)

3 * sin^2(x) - 4 * sin^2(x) + 4 * cos^2(x) * sin^2(x) = 2 * sin(2x)

3 * sin^2(x) - 4 * sin^2(x) + 4 * (1 - sin^2(x)) * sin^2(x) = 2 * sin(2x)

3 * sin^2(x) - 4 * sin^2(x) + 4 * sin^2(x) - 4 * sin^4(x) = 2 * sin(2x)

- sin^4(x) + 3 * sin^2(x) = 2 * sin(2x)

Четвертый шаг: Приведение к квадратному уравнению

Теперь, заменим sin(2x) на 2 * sin(x) * cos(x):

- sin^4(x) + 3 * sin^2(x) = 2 * 2 * sin(x) * cos(x)

- sin^4(x) + 3 * sin^2(x) = 4 * sin(x) * cos(x)

Пятый шаг: Приведение к квадратному уравнению

Давайте заменим cos(x) на sqrt(1 - sin^2(x)):

- sin^4(x) + 3 * sin^2(x) = 4 * sin(x) * sqrt(1 - sin^2(x))

Шестой шаг: Приведение к квадратному уравнению

Теперь, введем замену sin(x) = t:

- t^4 + 3 * t^2 = 4 * t * sqrt(1 - t^2)

Седьмой шаг: Приведение к квадратному уравнению

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(t^4 + 3 * t^2)^2 = (4 * t * sqrt(1 - t^2))^2

(t^4 + 6 * t^2 + 9 * t^4) = (16 * t^2 * (1 - t^2))

10 * t^4 + 6 * t^2 = 16 * t^2 - 16 * t^4

26 * t^4 - 10 * t^2 = 0

Восьмой шаг: Решение квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение:

26 * t^4 - 10 * t^2 = 0

2 * t^2 * (13 * t^2 - 5) = 0

t^2 = 0 или 13 * t^2 - 5 = 0

Девятый шаг: Решение уравнения

Решим полученные уравнения:

1) t^2 = 0 t = 0

2) 13 * t^2 - 5 = 0 t^2 = 5/13 t = ±sqrt(5/13)

Десятый шаг: Обратная замена

Теперь, вернемся к исходной переменной sin(x):

1) t = 0 sin(x) = 0 x = 0 + 2 * π * n, где n - целое число

2) t = sqrt(5/13) sin(x) = sqrt(5/13) x = arcsin(sqrt(5/13)) + 2 * π * n, где n - целое число

3) t = -sqrt(5/13) sin(x) = -sqrt(5/13) x = arcsin(-sqrt(5/13)) + 2 * π * n, где n - целое число

Таким образом, решения уравнения sin(x) * sin(3x) = 2 * sin(2x) равны: x = 0 + 2 * π * n, где n - целое число x = arcsin(sqrt(5/13)) + 2 * π * n, где n - целое число x = arcsin(-sqrt(5/13)) + 2 * π * n, где n - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал тригонометрические тождества и методы решения уравнений для получения ответа.