Question

Докажите, что при всех целых m значение выражения (m + 7)(m + 5) - m(m - 2) делится на 7 Докажите что 27^4 - 9^5 - 3^9 делится на 23

Answer 1

$(m+7)(m+5)-m(m-2)= m^{2} +12m+35- m^{2} +2m= \\ 14m+35=7*(2m+5) \\ \\ 27^{4}-9^{5}-3^{9}=( 3^{3} )^{4}- ( 3^{2} )^{5}- 3^{9} =3^{12}-3^{10} -3^{9} = \\ 3^{9}*( 3^{3} -3-1)= 3^{9}* (27-3-1)=23*3^{9}$

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(m + 7)(m + 5) - m(m - 2)$ делится на 7 при всех целых значениях $m$, мы можем использовать алгебру и свойства деления.

Доказательство первого выражения:

1. Раскроем скобки в выражении $(m + 7)(m + 5) - m(m - 2)$: $(m + 7)(m + 5) - m(m - 2) = (m^2 + 5m + 7m + 35) - (m^2 - 2m)$. 2. Упростим выражение: $(m^2 + 5m + 7m + 35) - (m^2 - 2m) = m^2 + 5m + 7m + 35 - m^2 + 2m = 14m + 35$. 3. Докажем, что $14m + 35$ делится на 7 для всех целых значений $m$: Разделим $14m + 35$ на 7: $(14m + 35) / 7 = 2m + 5$. Мы видим, что $2m + 5$ является целым числом для всех целых значений $m$. Это означает, что $14m + 35$ делится на 7 для всех целых значений $m$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $(m + 7)(m + 5) - m(m - 2)$ делится на 7 при всех целых значениях $m$.

Доказательство второго выражения:

1. Рассмотрим выражение $27^4 - 9^5 - 3^9$. 2. Разложим каждую из степеней на множители: $27^4 = (3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$, $9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$, $3^9 = 3^9$. 3. Подставим эти значения обратно в исходное выражение: $27^4 - 9^5 - 3^9 = 3^{12} - 3^{10} - 3^9$. 4. Мы видим, что каждое слагаемое в этом выражении содержит множитель 3. Факторизуем это выражение: $3^{12} - 3^{10} - 3^9 = 3^9(3^3 - 3 - 1)$. 5. Упростим скобку: $3^3 - 3 - 1 = 27 - 3 - 1 = 23$. 6. Подставим обратно в исходное выражение: $3^9(3^3 - 3 - 1) = 3^9 \cdot 23$. 7. Теперь мы видим, что выражение $3^9 \cdot 23$ является произведением двух целых чисел. Мы знаем, что произведение двух целых чисел делится на одно из этих чисел. В данном случае 3^9 является целым числом, поэтому $3^9 \cdot 23$ делится на 3^9. 8. Таким образом, мы можем заключить, что $27^4 - 9^5 - 3^9$ делится на 23.

В результате мы доказали, что выражение $27^4 - 9^5 - 3^9$ делится на 23.