Question

В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и противолежащим углом 30 вписан прямоугольник основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Answer 1

ABC − прямоугольный треугольник (∠B = 90°)
BC = 12; ∠A = 30°; AC = BC/sin(∠A) = 24;
MNKT − вписанный прямоугольник
MN = TK = b (M и T лежат на гипотенузе)
TC = b·ctg(∠C) = b/√3
AM = b·ctg(∠A) = b·√3
MT = NK = a = AC − (AM + TC) = 24 − (4b√3)/3
S(MNKT) = a·b = b·(24 − (4b√3)/3)
y(b) = b·(24 − (4b√3)/3)
y'(b₁) = 0
b₁ = 3√3
a₁ = 12
его размеры должны быть 12см на 3√3 см.

Answer 2

Пусть прямоугольник имеет стороны a и b.

По условию задачи, противолежащий угол треугольника равен 30 градусам. Это означает, что противолежащая сторона треугольника равна половине гипотенузы. Так как гипотенуза равна 12 см, противолежащая сторона равна 6 см.

Также из условия задачи известно, что основание прямоугольника лежит на гипотенузе треугольника. Пусть это расстояние равно x см.

Теперь мы можем выразить a и b через x. Так как основание прямоугольника лежит на гипотенузе, то a + x = 12. Также из прямоугольности прямоугольника a * b = S, где S - площадь прямоугольника.

Выразим a через x: a = 12 - x. Подставим это выражение в уравнение для площади: (12 - x) * b = S.

Теперь найдем производную площади S по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти максимум площади: dS/dx = -b + 12 = 0.

Отсюда получаем, что b = 12.

Таким образом, размеры прямоугольника должны быть a = 12 - x и b = 12.