Question

Решить уравнение: sqrt(cos(2x))=sinx

Answer 1

sqrt(cos(2x))=sinx

Возводим в квадрат:

cos(2x)=sin^2 x

cos(2x)=cos^2x-sin^2x

cos^2x-sin^2x=sin^2 x

sin^2 x  * (1+cos^2 x)=0

sin^2x=0  ->  sinx=0  ->  x=pi*K

cos^2x= -1   - не существует

 

Ответ:  x=pi*K

 

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся методом подстановки и математическими свойствами тригонометрии. Позвольте мне поэтапно показать решение.

Шаг 1: Подстановка Подставим значение sin(x) вместо sqrt(cos(2x)). Уравнение будет выглядеть следующим образом: sin(x) = sqrt(cos(2x))

Шаг 2: Применение свойств тригонометрии Воспользуемся тригонометрическими свойствами для упрощения уравнения. Заметим, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) (это следует из формулы двойного угла для косинуса).

Теперь наше уравнение примет вид: sin(x) = sqrt(1 - 2sin^2(x))

Шаг 3: Приведение квадратного корня Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: (sin(x))^2 = 1 - 2(sin(x))^2

Раскроем скобки в правой части уравнения: (sin(x))^2 = 1 - 2sin^2(x)

После упрощения получим: (sin(x))^2 + 2sin^2(x) - 1 = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте его решим.

(sin(x))^2 + 2sin^2(x) - 1 = 0

Заметим, что данное уравнение является квадратным уравнением относительно sin(x). Пусть u = sin(x), тогда уравнение примет вид: u^2 + 2u - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью стандартной формулы: u = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае: a = 1, b = 2 и c = -1

Подставим значения в формулу: u = (-2 ± sqrt(2^2 - 4*1*(-1))) / (2*1) u = (-2 ± sqrt(4 + 4)) / 2 u = (-2 ± sqrt(8)) / 2 u = (-2 ± 2sqrt(2)) / 2

Упростим выражение: u = -1 ± sqrt(2)

Шаг 5: Обратная подстановка Теперь, когда у нас есть значения u, мы можем подставить их обратно в уравнение u = sin(x) и решить его.

Для u = -1 + sqrt(2): sin(x) = -1 + sqrt(2)

Для u = -1 - sqrt(2): sin(x) = -1 - sqrt(2)

Теперь используем обратные тригонометрические функции для нахождения значений x.

Для первого уравнения: x = arcsin(-1 + sqrt(2))

Для второго уравнения: x = arcsin(-1 - sqrt(2))

Заметим, что второе уравнение может не иметь решений, так как значение sin(x) не может быть меньше -1.

Таким образом, решение исходного уравнения sqrt(cos(2x)) = sin(x) будет выглядеть следующим образом: x = arcsin(-1 + sqrt(2))

Пожалуйста, обратите внимание, что уравнение имеет бесконечное количество решений, так как синус является периодической функцией. Решение, которое я привел, представляет одно из возможных значений.