Question

Решите уравнение tgx-2/2tgx+1=3

Answer 1

tgx-2/2tgx+1=3
x \neq  \pi/2+Κ  \pi .x=arctg(-1/2)+Κ  \pi .Κ∈Ζ
tgx-2=3(2tgx+1)
tgx-2=6tgx=3
tgx-6tgx=3+2
-5tgx=5
tgx=-1
x=arctg-1
x=-( \pi /4)
x=-( \pi /4)+k \pi .Κ∈Ζ
x=3\pi /4 +k \pi .Κ∈Ζ .x  \neq  arctg(-1/2)+k \pi ,Κ∈Ζ
x=3\pi /4 +k \pi .Κ∈Ζ

Answer 2

Для начала решим уравнение tg(x) - 2 / 2tg(x) + 1 = 3. Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться заменой переменной для tg(x).

Замена переменной:

Пусть z = tg(x). Тогда уравнение примет вид:

z - 2 / 2z + 1 = 3.

Приведение уравнения к общему знаменателю:

Умножим обе части уравнения на 2z(2z+1), чтобы избавиться от дробей:

z(2z+1) - 2(2z+1) = 3 * 2z(2z+1).

Раскрытие скобок:

2z^2 + z - 4z - 2 = 12z^2 + 6z.

Приведение подобных членов:

2z^2 - 3z - 2 = 12z^2 + 6z.

Перенос всех членов в одну сторону:

0 = 12z^2 + 6z - 2z^2 + 3z + 2.

Упрощение:

0 = 10z^2 + 9z + 2.

Решение квадратного уравнения:

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида az^2 + bz + c = 0, где a = 10, b = 9, c = 2. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Нахождение корней:

z = (-9 ± √(9^2 - 4*10*2)) / (2*10), z = (-9 ± √(81 - 80)) / 20, z = (-9 ± √1) / 20, z1 = (-9 + 1) / 20 = -8 / 20 = -0.4, z2 = (-9 - 1) / 20 = -10 / 20 = -0.5.

Восстановление переменной x:

Так как z = tg(x), мы можем найти соответствующие значения x, используя арктангенс:

x1 = arctg(-0.4) + πn, где n - целое число, x2 = arctg(-0.5) + πn, где n - целое число.

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения tg(x) - 2 / 2tg(x) + 1 = 3 в терминах x.